Strzałka łuku

Konstrukcyjne wyznaczenie strzałki

Strzałka łuku – odcinek stanowiący różnicę promienia koła prostopadłego do cięciwy ograniczającej odcinek koła oraz wysokości trójkąta wyznaczonego przez ramiona kąta środkowego i tę cięciwę.

Wzory

Powyższą definicję można zapisać wzorem:

$t=R-a$

gdzie

t – strzałka,

R – promień,

a – odcinek zaznaczony na rysunku.

Po zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$t=R-{\sqrt {R^{2}-c^{2}}}$

gdzie 2c jest cięciwą. Strzałka może być wyznaczona również ze wzorów:

${\begin{aligned}&t=R\left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)\\&t=c\cdot \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{4}}\\\end{aligned}}$

gdzie α jest kątem środkowym, jak na rysunku. Aby określić przybliżoną wartość strzałki dla sytuacji, gdy długość cięciwy jest bardzo mała w porównaniu z promieniem, można powyższą funkcję t(c) rozwinąć w szereg Maclaurina, w wyniku czego otrzymuje się:

$t={\frac {c^{2}}{2R}}$

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1997, wyd. XIV, ISBN 83-01-11658-7, s. 215
• Kolejowa Instrukcja D19, §22. [dostęp 2011-04-24].