Traktrysa

Traktrysa w przedziale [0,4]

Traktrysa (traktoria lub wleczona) jest to krzywa płaska, wzdłuż której porusza się mały obiekt, wleczony przez ciągnącego po poziomej płaszczyźnie przy pomocy nici o stałej długości. Ciągnący porusza się po linii prostej.

Przyjmijmy za poziomą prostą oś X i oznaczmy położenie początkowe obiektu przez punkt B=(0,b) na osi Y. Za parametr $\theta(t)$ obierzmy kąt skierowany między osią X, a wektorem Q'Q, którego początkiem Q jest punkt krzywej, zaś końcem Q' punkt "ciągnący", poruszający się po osi X.

Odcinek stycznej, ograniczony punktem styczności Q z krzywą i punktem Q' przecięcia z osią X, ma stałą długość b. Oznaczmy przez x(t) oraz y(t) wartości współrzędnych punktu Q, zakreślającego traktrysę. Wtedy:

$y(t) = b\sin\theta(t)\;$

$x(t) = t + b\cos\theta(t)\;$

$\operatorname{tg}\theta(t) = {dy \over dx} = {{\theta'(t)b\cos\theta(t)} \over {1-\theta'(t)b\sin\theta(t)}}$

$\theta'(t) = {{sin\theta(t)} \over {b}}$

Stąd

$t = b\ln\operatorname{tg}{\theta \over 2}$

Równanie parametryczne traktrysy:

$Q(\theta) = (b\cos\theta + b\ln\begin{vmatrix} \operatorname{tg}{\theta \over 2}\end{vmatrix}, b\sin\theta)$

Gdy

$\theta\in(0,\pi)$

otrzymamy całą traktorię, rozciągającą się w obie strony w nieskończoność i z każdej strony zbliżającą się do osi X. Oś X jest asymptotą traktrysy, oś Y zaś osią jej symetrii.

W punkcie B(0,b), a więc dla $\theta = {\pi \over 2}$ mamy punkt osobliwy (ostrze) krzywej.

Długość łuku traktrysy BQ wynosi:

$l = b\ln{b \over y}$,

zaś jej promień krzywizny:

$r=b\;\operatorname{ctg}{x \over y}$.

Ewolutą traktrysy, a więc zbiorem wszystkich jej środków krzywizny c, jest krzywa łańcuchowa.

Obracając traktrysę wokół jej asymptoty dostaniemy powierzchnię zwaną pseudosferą

Linki zewnętrzne

• Traktrysa w MathWorld