Traktrysa

Traktrysa, traktoria, wleczona – krzywa płaska, wzdłuż której porusza się mały obiekt wleczony przez ciągnącego po poziomej płaszczyźnie, przy pomocy nici o stałej długości. Ciągnący porusza się po linii prostej^[1].

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Przyjęto założenia, że poziomą prostą jest oś $Ox$ i położenie początkowe obiektu oznaczone jest przez punkt $B=(0,b)$ na osi $Oy.$ Za parametr $\theta (t)$ obrano kąt skierowany między osią $Ox$ a wektorem $Q'Q,$ którego początkiem $Q$ jest punkt krzywej, zaś końcem $Q'$ punkt „ciągnący”, poruszający się po osi $Ox.$

Dla obiektu wleczonego przyjmującego pozycje $Q$ z przedziału $[0;4],$ kreślona krzywa przyjmuje postać:

Odcinek stycznej, ograniczony punktem styczności $Q$ z krzywą i punktem $Q'$ przecięcia z osią $Ox,$ ma stałą długość $b.$ Oznaczono przez $x(t)$ oraz $y(t)$ wartości współrzędnych punktu $Q$ zakreślającego traktrysę. Wtedy równania mają postać:

{\begin{cases}y(t)=b\sin \theta (t)\\x(t)=t+b\cos \theta (t)\end{cases}}

\operatorname {tg} \theta (t)={\frac {dy}{dx}}={\frac {\theta '(t)b\cos \theta (t)}{1-\theta '(t)b\sin \theta (t)}},

\theta '(t)={\frac {\sin \theta (t)}{b}},

stąd

t=b\ln \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}.

Równanie parametryczne traktrysy jest następujące:

Q(\theta )=(b\cos \theta +b\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}\right|,b\sin \theta ),

gdy:

\theta \in (0,\pi )

otrzymuje się całą traktorię, rozciągającą się w obie strony w nieskończoność i z każdej strony zbliżającą się do osi $Ox.$ Oś ta jest asymptotą traktrysy, oś $Oy$ zaś osią jej symetrii.

W punkcie $B=(0,b),$ a więc dla $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ istnieje punkt osobliwy (ostrze) krzywej.

Długość łuku traktrysy $BQ$ wynosi:

l=b\ln {\frac {b}{y}},

zaś jej promień krzywizny:

r=b\operatorname {ctg} {\frac {x}{y}}.

Ewolutą traktrysy, a więc zbiorem wszystkich jej środków krzywizny, jest krzywa łańcuchowa. Obracając traktrysę wokół jej asymptoty dostanie się powierzchnię zwaną pseudosferą