Krzywizna krzywej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

\kappa=\lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{|\Delta\varphi|}{\Delta S}=\left|\frac{d\varphi}{dS}\right|

Natomiast krzywiznę ze znakiem:

\kappa=\lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta S}=\frac{d\varphi}{dS}

gdzie \Delta\varphi jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a {\Delta S} długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę \kappa w punkcie P(x_0,y_0) są następujące:

\kappa=\frac{|y{ ''_0}|}{{(1+{y'_0}^2)^{3/2}}}
  • Dla krzywej określonej parametrycznie x = p(t), y = q(t) w układzie kartezjańskim:
\kappa=\frac{|y{''_0}{x'_0}-{x''_0}{y'_0}|}{({x'_0}^2+{y'_0}^2)^{3/2}}
\kappa=\frac{|{r_0}^2 + 2{r'_0}^2 - {r_0}{r''_0}|}{({r_0}^2 + {r'_0}^2)^{3/2}}

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie P nazywamy odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

R = \frac{1}{\kappa}

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie P(x_0,y_0) nazywamy punkt S(\xi,\eta), leżący na normalnej do krzywej w punkcie P po stronie jej wklęsłości w odległości od P równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie P krzywej są następujące:

  • Dla krzywej o równaniu y = f(x):
 \xi = {x_0}-{y'_0}\frac{{1}+ {{y'_0}^2}}{y''_0}, \eta = {y_0} + \frac{{1}+{y'_0}^2}{y''_0}
  • Dla krzywej o równaniach x = p(t), y = q(t):
 \xi = {x_0}-{y'_0}\frac{{x'_0}^2 + {y'_0}^2}{{y''_0}{x'_0}-{y'_0}{x''_0}}, \eta = {y_0}+{x'_0}\frac{{x'_0}^2+{y'_0}^2}{{y''_0}{x'_0}-{y'_0}{x''_0}}

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Krzywizna krzywej \scriptstyle y=f(x) w punkcie \scriptstyle A=(x_A,y_A) jest równa granicy ilorazu kąta \scriptstyle \varphi pomiędzy krzywymi w punktach \scriptstyle A i \scriptstyle B=(x_B,y_B) i długością łuku \scriptstyle L między \scriptstyle A i \scriptstyle B gdy \scriptstyle B \to A:

\kappa = \lim\limits_{B \to A} \frac{\varphi}{L}

Kąt \scriptstyle\varphi mozna inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:

\varphi = \arctan(f'(x_B)) - \arctan(f'(x_A))

Natomiast długość łuku \scriptstyle L jako całkę oznaczoną:

L = \int\limits_{x_A}^{x_B} \sqrt{f'(t)^2+1}\ dt

Wtedy, zważając na to, że \scriptstyle B \to A \iff x_B \to x_A:

\kappa = \lim\limits_{x_B \to x_A} \frac{\arctan(f'(x_B) - \arctan(f'(x_A))}{\int\limits_{x_A}^{x_B} \sqrt{f'(t)^2+1}\ dt}

Zmierzamy się z wyrażeniem nieoznaczonym \scriptstyle\frac{0}{0}, dlatego stosujemy regułę de l'Hospitala:

\kappa = \lim\limits_{x_B \to x_A} \frac{\frac{d}{dx_B}(\arctan(f'(x_B)) - \arctan(f'(x_A)))}{\frac{d}{dx_B}\int\limits_{x_A}^{x_B} \sqrt{f'(t)^2+1}\ dt}

Pochodna \scriptstyle\frac{d}{dx}\arctan(x) jest równa \scriptstyle \frac{1}{x^2+1}, natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego mamy:

\kappa = \lim\limits_{x_B \to x_A} \frac{f''(x_B)}{f'(x_B)^2+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{f'(x_B)^2+1}}=\frac{f''(x_A)}{(f'(x_A)^2+1)^{1+1/2}}

Dla funkcji uwikłanej \scriptstyle F(x,y)=0 wystarczy zamienić \scriptstyle f'(x) na \scriptstyle \frac{dy}{dx} przez co wzór przyjmuje następującą postać:

\kappa = \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{((\frac{dy}{dx})^2+1)^{3/2}}

Jest wtedy jednak zależny zarówno od x jak i y.

Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

x(t) = A\sin(at + \delta),\quad y(t) = B\sin(bt).

Wartości poszczególnych pochodnych:

x'(t) = Aa\cos(at + \delta)
y'(t) = Bb\cos(bt)
x''(t) = -Aa^2\sin(at + \delta)
y''(t) = -Bb^2\sin(bt)

Krzywizna jako funkcja parametru t:

\kappa (t) = \frac{-Bb^2\sin(bt) \cdot Aa\cos(at + \delta) + Aa^2\sin(at + \delta) \cdot Bb\cos(bt) }{\left (A^2a^2\cos^2(at + \delta) + B^2b^2\cos^2(bt) \right )^{3/2}}

W szczególności dla okręgu A=B=r,\quad a=b=1,\quad \delta = \frac{\pi}{2} krzywizna nie zależy od parametru t:

\kappa (t) = \frac{-r\sin(t) \cdot (-r\sin(t)) + r\cos(t) \cdot r\cos(t)}{\left ( r^2\sin^2(t)+r^2\cos^2(t) \right )^{3/2}} = \frac{r^2}{r^3}=\frac{1}{r}

Natomiast dla elipsy a=b=1,\quad \delta = \frac{\pi}{2} krzywizna zależy od parametru t:

\kappa (t) = \frac{-B\sin(t) \cdot (-A\sin(t)) + A\cos(t) \cdot B\cos(t)}{\left ( A^2\sin^2(t)+B^2\cos^2(t) \right )^{3/2}} = \frac{AB}{\left ( A^2\sin^2(t)+B^2\cos^2(t) \right )^{3/2}}
Uwaga

W ogólnym przypadku A \neq B,\quad a \neq b,\quad \delta \in R krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie t_1,t_2 \in R, dla których x(t_1) = x(t_2), y(t_1) = y(t_2)).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]