Krzywizna krzywej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

\kappa=\lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta S}=\frac{d\varphi}{dS}

gdzie \Delta\varphi jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a {\Delta S} długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę \kappa w punkcie P(x_0,y_0) są następujące:

\kappa=\frac{y{ ''_0}}{{(1+{y'_0}^2)^{3/2}}}
  • Dla krzywej określonej parametrycznie x = p(t), y = q(t) w układzie kartezjańskim:
\kappa=\frac{y{''_0}{x'_0}-{x''_0}{y'_0}}{({x'_0}^2+{y'_0}^2)^{3/2}}
\kappa=\frac{{r_0}^2 + 2{r'_0}^2 - {r_0}{r''_0}}{({r_0}^2 + {r'_0}^2)^{3/2}}

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie P nazywamy bezwzględną wartość odwrotności jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

\delta = \left| \frac{1}{\kappa} \right|

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie P(x_0,y_0) nazywamy punkt S(\xi,\eta), leżący na normalnej do krzywej w punkcie P po stronie jej wklęsłości w odległości od P równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie P krzywej są następujące:

  • Dla krzywej o równaniu y = f(x):
 \xi = {x_0}-{y'_0}\frac{{1}+ {{y'_0}^2}}{y''_0}, \eta = {y_0} + \frac{{1}+{y'_0}^2}{y''_0}
  • Dla krzywej o równaniach x = p(t), y = q(t):
 \xi = {x_0}-{y'_0}\frac{{x'_0}^2 + {y'_0}^2}{{y''_0}{x'_0}-{y'_0}{x''_0}}, \eta = {y_0}+{x'_0}\frac{{x'_0}^2+{y'_0}^2}{{y''_0}{x'_0}-{y'_0}{x''_0}}

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

x(t) = A\sin(at + \delta),\quad y(t) = B\sin(bt).

Wartości poszczególnych pochodnych:

x'(t) = Aa\cos(at + \delta)
y'(t) = Bb\cos(bt)
x''(t) = -Aa^2\sin(at + \delta)
y''(t) = -Bb^2\sin(bt)

Krzywizna jako funkcja parametru t:

\kappa (t) = \frac{-Bb^2\sin(bt) \cdot Aa\cos(at + \delta) + Aa^2\sin(at + \delta) \cdot Bb\cos(bt) }{\left (A^2a^2\cos^2(at + \delta) + B^2b^2\cos^2(bt) \right )^{3/2}}

W szczególności dla okręgu A=B=r,\quad a=b=1,\quad \delta = \frac{\pi}{2} krzywizna nie zależy od parametru t:

\kappa (t) = \frac{-r\sin(t) \cdot (-r\sin(t)) + r\cos(t) \cdot r\cos(t)}{\left ( r^2\sin^2(t)+r^2\cos^2(t) \right )^{3/2}} = \frac{r^2}{r^3}=\frac{1}{r}

Natomiast dla elipsy a=b=1,\quad \delta = \frac{\pi}{2} krzywizna zależy od parametru t:

\kappa (t) = \frac{-B\sin(t) \cdot (-A\sin(t)) + A\cos(t) \cdot B\cos(t)}{\left ( A^2\sin^2(t)+B^2\cos^2(t) \right )^{3/2}} = \frac{AB}{\left ( A^2\sin^2(t)+B^2\cos^2(t) \right )^{3/2}}
Uwaga

W ogólnym przypadku A \neq B,\quad a \neq b,\quad \delta \in R krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie t_1,t_2 \in R, dla których x(t_1) = x(t_2), y(t_1) = y(t_2)).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]