Krzywizna krzywej

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

$\kappa=\lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta S}=\frac{d\varphi}{dS}$

gdzie $\Delta\varphi$ jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a ${\Delta S}$ długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę $\kappa$ w punkcie $P(x_0,y_0)$ są następujące:

• Dla krzywej określonej funkcją $y = f(x)$ w układzie kartezjańskim:

$\kappa=\frac{y{ ''_0}}{{(1+{y'_0}^2)^{3/2}}}$

• Dla krzywej określonej parametrycznie $x = p(t), y = q(t)$ w układzie kartezjańskim:

$\kappa=\frac{y{''_0}{x'_0}-{x''_0}{y'_0}}{({x'_0}^2+{y'_0}^2)^{3/2}}$

• Dla krzywej określonej funkcją $r = f(\varphi)$ w układzie biegunowym:

$\kappa=\frac{{r_0}^2 + 2{r'_0}^2 - {r_0}{r''_0}}{({r_0}^2 + {r'_0}^2)^{3/2}}$

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie P nazywamy bezwzględną wartość odwrotności jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

$\delta = \left| \frac{1}{\kappa} \right|$

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie $P(x_0,y_0)$ nazywamy punkt $S(\xi,\eta)$, leżący na normalnej do krzywej w punkcie P po stronie jej wklęsłości w odległości od P równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie P krzywej są następujące:

• Dla krzywej o równaniu $y = f(x)$:

$\xi = {x_0}-{y'_0}\frac{{1}+ {{y'_0}^2}}{y''_0}, \eta = {y_0} + \frac{{1}+{y'_0}^2}{y''_0}$

• Dla krzywej o równaniach $x = p(t), y = q(t)$:

$\xi = {x_0}-{y'_0}\frac{{x'_0}^2 + {y'_0}^2}{{y''_0}{x'_0}-{y'_0}{x''_0}}, \eta = {y_0}+{x'_0}\frac{{x'_0}^2+{y'_0}^2}{{y''_0}{x'_0}-{y'_0}{x''_0}}$

Przykłady

Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

$x(t) = A\sin(at + \delta),\quad y(t) = B\sin(bt).$

Wartości poszczególnych pochodnych:

$x'(t) = Aa\cos(at + \delta)$

$y'(t) = Bb\cos(bt)$

$x''(t) = -Aa^2\sin(at + \delta)$

$y''(t) = -Bb^2\sin(bt)$

Krzywizna jako funkcja parametru t:

$\kappa (t) = \frac{-Bb^2\sin(bt) \cdot Aa\cos(at + \delta) + Aa^2\sin(at + \delta) \cdot Bb\cos(bt) }{\left (A^2a^2\cos^2(at + \delta) + B^2b^2\cos^2(bt) \right )^{3/2}}$

W szczególności dla okręgu $A=B=r,\quad a=b=1,\quad \delta = \frac{\pi}{2}$ krzywizna nie zależy od parametru t:

$\kappa (t) = \frac{-r\sin(t) \cdot (-r\sin(t)) + r\cos(t) \cdot r\cos(t)}{\left ( r^2\sin^2(t)+r^2\cos^2(t) \right )^{3/2}} = \frac{r^2}{r^3}=\frac{1}{r}$

Natomiast dla elipsy $a=b=1,\quad \delta = \frac{\pi}{2}$ krzywizna zależy od parametru t:

$\kappa (t) = \frac{-B\sin(t) \cdot (-A\sin(t)) + A\cos(t) \cdot B\cos(t)}{\left ( A^2\sin^2(t)+B^2\cos^2(t) \right )^{3/2}} = \frac{AB}{\left ( A^2\sin^2(t)+B^2\cos^2(t) \right )^{3/2}}$

Uwaga

W ogólnym przypadku $A \neq B,\quad a \neq b,\quad \delta \in R$ krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie $t_1,t_2 \in R$, dla których $x(t_1) = x(t_2), y(t_1) = y(t_2)$).

Zobacz też

• łuk zwykły
• ewoluta