Równanie parametryczne

Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne - pojęcie matematyczne definiujące relację przy użyciu parametrów. Najprostsze zastosowanie widać na przykładzie wziętym z zagadnień kinematyki kiedy to jednym parametrem czasu można opisać położenie ciała, jego prędkość i inne wielkości fizyczne dotyczące ciała w ruchu. Ogólnie przy pomocy równań parametrycznych definiuje się relację jako zbiór równań.

Przykłady dwuwymiarowe

Parabola

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

$y = x^2\,$

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru t w następujący sposób:

$x = t\,$

$y = t^2.\,$

Okrąg

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz a okrąg o promieniu a:

$x = a \cos(t)\,$

$y = a \sin(t),\,$

gdzie $t \in [0 , 2 \pi )$

Przykłady trójwymiarowe

Spirala

Spirala

Równania parametryczna są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

$x = a \cos(t)\,$

$y = a \sin(t)\,$

$z = bt\,$

gdzie $a > 0\;$, $t\in[0,2\pi)\;\,$

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej spiralę o promieniu a, która wznosi się o 2πb co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

$r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t).\,$

Powierzchnie parametryczne

Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R, którego promień wynosi r, może być sparametryzowany jako

$x = \cos(t)(R + r \cos(u))\;$

$y = \sin(t)(R + r \cos(u))\;$

$z = r \sin(u)\;,$

gdzie $t \in [0 , 2 \pi ),$ $u \in [0 , 2 \pi ).$

Zastosowanie

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż jedno z równań można różniczkować a inne całkować. Przykładem zastosowania może być wyrażenie prędkości jako sparametryzowanej drogi przebytej przez ciało (w każdym wymiarze odpowiednio) jako:

$v(t) = r'(t) = ((x'(t), y'(t), z'(t)) = (-a \sin(t), a \cos(t), b)\,$

natomiast przyspieszenie jako:

$a(t) = r''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) = (-a \cos(t), -a \sin(t), 0)\,$

Ogólnie krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru (zazwyczaj oznaczanego jako t). W sytuacji są dwa lub więcej parametrów, mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej $t$ z równań $x=x(t),\ y=y(t)$. Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla t, wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie w którym występować będą tylko zmienne x oraz y. Jeśli $x(t)$ i $y(t)$ są funkcjami wymiernymi wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej t. Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie.

Dla przykładu weżmy okrąg o promieniu a

$x = a \cos(t)\,$

$y = a \sin(t)\,$

$a > 0\;$, $t\in[0,2\pi)\;$

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych x oraz y korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$x/a = \cos(t)\,$

$y/a = \sin(t)\,$

$\cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1\,\!$

$\therefore (x/a)^2 + (y/a)^2 = 1,$

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.