Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych – twierdzenie analizy zespolonej wiążące zbieżność szeregu potęgowego w punkcie brzegu koła zbieżności ze zbieżnością funkcji reprezentowanej przez szereg wewnątrz koła dla argumentów zbieżnych do tego punktu po pewnej drodze udowodnione przez norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Niech (a_n) będzie ciągiem zespolonym: (a_n)_{n\in\N}\in\C^{\N}. Jeżeli szereg \sum_{n=0}^{\infty} a_n jest zbieżny oraz funkcja zespolona określona w kole jednostkowym f: \{x:|x|<1\}\rightarrow \C jest dana wzorem f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n to wówczas \sum_{n=0}^{\infty} a_n = \lim_{z\to 1}f(x) , gdy z dąży do 1 po drodze zawartej pomiędzy dwiema cięciwami koła zbieżności wychodzącymi z punktu 1.

Uwagi: Przykładem takiej drogi może być odcinek otwarty (0,\,1). Przypadek dowolnego skończonego promienia zbieżności i punktu z jego brzegu może być sprowadzony do promienia 1 i punktu 1.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Oznaczając przez s_n sumy częściowe szeregu \sum_{n=0}^{\infty} a_n , a przez s jego sumę i korzystając z przekształcenia Abela można zapisać:

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n = s_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (s_n-s_{n-1}) z^n = \sum_{n=0}^{\infty} s_n (z^n-z^{n+1}) = (1-z) \sum_{n=0}^{\infty} s_n z^n

Zgodnie ze wzorem na granicę szeregu geometrycznego: s=(1-z)\sum_{n=0}^{\infty} s z^n, a zatem:

f(z)-s = (1-z) \sum_{n=0}^{\infty} (s_n-s) z^n

Ze zbieżności szeregu wynika, że można dobrać takie N, by dla każdego n>N (s_n - s) było dostatecznie małe (mniejsze od ustalonego \epsilon > 0).

Suma pierwszych N wyrazów szeregu \sum_{n=0}^{N} (s_n-s) z^n jest dla dowolnego z z koła zbieżności ograniczona przez stałą \sum_{n=0}^{N} |s_n-s|. Ponieważ dla z dostatecznie bliskich 1 |1-z| jest dowolnie małe, wyrażenie (1-z) \sum_{n=0}^{N} (s_n-s) z^n dąży do zera.

Korzystamy z potęgi punktu 1 względem okręgu o środku 0 przechodzącego przez z dla prostych przechodzących przez z (wtedy jeden z odcinków ma długość |1-z|) i 0 (wtedy jeden z odcinków ma długość 1-|z|).

Wnioskujemy, że jeśli z leży pomiędzy pewnymi cięciwami (można zakładać, że cięciwy są symetryczne względem (0,1), bo zmiana cięciwy pod mniejszym kątem na symetryczną do drugiej zwiększa obszar zawarty między nimi), a |z|>r, gdzie r to promień okręgu o środku 0 stycznego do obu cięciw (dla z dostatecznie bliskich 1 można tak zakładać), to zachodzi nierówność:

\frac{|1-z|}{1-|z|} < \frac{2}{l}

gdzie l jest długością odcinka pomiędzy 1 a punktem styczności cięciwy.

Dla |z|<1 zachodzi:

(1-z)\sum_{n=N+1}^{\infty} (s_n-s) z^n \leq |1-z| \epsilon \sum_{n=N+1}^{\infty} |z|^n = \epsilon |z|^{N+1} \frac{|1-z|}{1-|z|}

i ze względu na ograniczoność \frac{|1-z|}{1-|z|} i dowolność wyboru \epsilon, wyrażenie może być dowolnie małe. Zatem również f(z)-s jest dla z dostatecznie bliskich 1 dowolnie małe.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1973.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]