Przekształcenie Abela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przekształcenie Abela (tożsamość Abela) - tożsamość algebraiczna zachodząca dla skończonych ciągów liczb rzeczywistych.

Niech (a_n), (b_n) będą ciągami liczb rzeczywistych. Oznaczmy A_n=\sum_{i=1}^n a_i. Wówczas zachodzi wzór:

\sum_{j=m+1}^{m+k} a_j b_j = \sum_{l=m+1}^{m+k} A_l (b_l-b_{l+1}) - A_m b_{m+1} + A_{m+k} b_{m+k+1}

W szczególności(m=0, b_{k+1}=0):

\sum_{j=1}^{k} a_j b_j = \sum_{l=1}^{k-1} A_l (b_l-b_{l+1}) + A_{k} b_{k}

Dowód[edytuj | edytuj kod]

a_l b_l = (A_l-A_{l-1}) b_l = A_l(b_l-b_{l+1}) + A_l b_{l+1} - A_{l-1} b_l

Po zsumowaniu i skróceniu wyrazów występujących w kolejnych wyrażeniach z przeciwnymi znakami otrzymujemy tezę.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli szereg \sum A_n (b_n-b_{n+1}) oraz ciąg A_n b_{n+1} są zbieżne, to szereg \sum a_n b_n jest zbieżny.
  • Jeśli b_n jest ciągiem nierosnącym nieujemnym, to spełniona jest nierówność:
|\sum_{i=1}^{n} a_i b_i| \leq A b_1

gdzie

A = \max(|a_1|,|a_1+a_2|, \ldots , |\sum_{i=1}^n a_i|).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Lev Kourliandtchik: Wędrówki po krainie nierówności. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat, 2000. ISBN 83-87329-11-8.