Twierdzenie Gelfanda-Najmarka

Twierdzenie Gelfanda-Najmarka - twierdzenie mówiące, iż każda przemienna C*-algebra A jest (izometrycznie) *-izomorficzna z algebrą C₀(K) funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa K. W przypadku, gdy A ma jedynkę, przestrzeń K jest zwarta.

Twierdzenie

Niech A będzie przemienną zespoloną algebrą Banacha oraz niech Ф_A oznacza jej przestrzeń Gelfanda. Transformata Gelfanda

$\Gamma \colon A\to C_{0}(\Phi _{A})$

jest różnowartościowym homomorfizmem. W przypadku, gdy A ma jedynkę, to jej przestrzeń Gelfanda jest zwarta. Niech A będzie dalej przemienną C*-algebrą. W szczególności, A jest algebrą półprostą oraz transformata Gelfanda zachowuje operację inwolucji. Twierdzenie Gelfanda-Najmarka może więc zostać wypowiedziane w następujący sposób:

• Jeżeli A jest przemienną C*-algebrą, to jej transformata Gelfanda o wartościach jest izometrycznym *-izomorfizmem na C₀(Ф_A), tj. A jest izometrycznie *-izomorficzna z C*-algebrą C₀(Ф_A) zespolonych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na swojej przestrzeni Gelfanda.

Bibliografia

• W. Arveson, An Invitation to C*-algebra. Graduate Texts in Mathematics No.39. Springer-Verlag, 1976.
• J. Dixmier, C*-Algebras, North Holland 1977.
• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000.
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1979. VII.