Twierdzenie Poincarégo-Hopfa
Twierdzenie Poincarégo-Hopfa (czasem twierdzenie o indeksie Poincaré) – twierdzenie, które jest używane w topologii różniczkowej.
W twierdzenie Poincarégo-Hopfa czasami jest ilustrowane twierdzeniem o czesaniu kuli, które mówi, że nie ma gładkiego pola wektorowego na sferze, nie mającego węzłów lub ognisk.
Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie rozmaitością różniczkowalną, wymiaru oraz polem wektorowym na Niech będzie izolowanym zerem i niech będzie otoczeniem diffeomorficznym z dostatecznie małym żeby nie zawierać innych zer Wtedy indeks w punkcie jest stopniem Brouwera odwzorowania z brzegu w (n-1)-sferę dane przez
Twierdzenie. Niech będzie zwartą rozmaitością różniczkowalną. Niech będzie polem wektorowym na z izolowanymi zerami. Jeśli ma brzeg, to jest dodatnio proporcjonalne do wektora normalnego do Wtedy zachodzi równość:
gdzie suma przebiega po wszystkich izolowanych zerach a jest charakterystyką Eulera Wyjątkowo użyteczny przypadek zachodzi gdy jest nigdzie znikające, zmuszając
Twierdzenie zostało udowodnione dla wymiaru 2 przez Henriego Poincare, a później uogólnione na wyższe wymiary przez Heinza Hopfa.
Zastosowanie dla dwuwymiarowych pól[edytuj | edytuj kod]
Dla dwuwymiarowych autonomicznych układów dynamicznych to twierdzenie mówi, że zera pola wektorowego zadającego układ wewnątrz cyklicznej orbity (której wnętrze jest diffeomorficzne z a zatem ma ) muszą mieć indeksy sumujące się do jedności. Indeksy hiperbolicznych punktów stabilnych da się w pełni scharakteryzować:
Centra: | |
Ogniska: | |
Węzły: | |
Siodła: |
Pozwala to na wykluczanie istnienia niektórych orbit poprzez analizę zachowania wyłącznie w okolicy punktów stabilnych.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Poincaré–Hopf theorem. W: Michiel Hazewinkel: Encyclopedia of Mathematics. Springer Netherlands, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa: Vector fields on singular varieties. Heidelberg: Springer, 2009. ISBN 978-3-642-05205-7.