Rozmaitość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy rozmaitości w matematyce. Zobacz też: rozmaitość w logice tradycyjnej.
Sfera (powierzchnia kuli) to dwuwymiarowa rozmaitość, ponieważ można ją przedstawić jako zbiór dwuwymiarowych map.

Rozmaitość w matematyce, a szczególnie w geometrii różniczkowej i topologii, to podzbiór przestrzeni euklidesowej, który w dowolnym lokalnym obszarze można opisać (w ogólności wielowymiarową) funkcją gładką. Bardziej ogólnie rozmaitość topologiczną można przedstawić jako przestrzeń topologiczną, która w odpowiednio małej skali przypomina przestrzeń euklidesową określonego wymiaru, zwaną wymiarem rozmaitości. Stąd linia i okrąg to rozmaitości jednowymiarowe, powierzchnia i sfera to rozmaitości dwuwymiarowe, i tak dalej w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów. Bardziej formalnie: każdy punkt rozmaitości n-wymiarowej ma homeomorficzne sąsiedztwo w otwartym podzbiorze n-wymiarowej przestrzeni Rn.

Mimo że rozmaitości przypominają przestrzeń euklidesową w otoczeniu każdego punktu (lokalnie), ich globalna struktura może być bardziej skomplikowana. Na przykład dowolny punkt na sferze (rozmaitość dwuwymiarowa) jest otoczony pewnym regionem, który może być spłaszczony i odwzorowany jak na mapie geograficznej. Jednakże sfera różni się od płaszczyzny w „wielkiej skali”. Nie są one homeomorficzne. Struktura rozmaitości może być przedstawiona jako kolekcja map, które tworzą atlas, analogicznie do atlasu zawierającego mapy geograficzne Ziemi.

Koncepcja rozmaitości jest kluczem w wielu gałęziach geometrii i nowoczesnej fizyki matematycznej, ponieważ umożliwia wyrażenie i rozumienie skomplikowanych struktur stosując lepiej poznane i rozumiane właściwości prostszych przestrzeni.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Badanie rozmaitości łączy wiele ważnych dziedzin matematyki. To uogólnienie takich pojęć jak krzywa czy powierzchnia.

Wczesny rozwój[edytuj | edytuj kod]

Zanim powstało nowoczesne pojęcie rozmaitości, osiągnięto już kilka wyników.

Geometria nieeuklidesowa opisuje przestrzenie, gdzie nie obowiązuje piąty aksjomat Euklidesa. Szczegółowe badania tej geometrii rozpoczął Saccheri w 1733 roku. Łobaczewski, Bolyai i Riemann rozwijali je 100 lat później. Ich badania doprowadziły do odkrycia dwóch rodzajów przestrzeni, w których struktury geometryczne różnią się od klasycznej przestrzeni euklidesowej, geometrii hiperbolicznej i geometrii eliptycznej. W nowoczesnej teorii rozmaitości te pojęcia opowiadają rozmaitościom riemannowskim o stałej ujemnej lub dodatniej krzywiźnie, odpowiednio.

Carl Friedrich Gauss mógł być pierwszym matematykiem, który rozważał abstrakcyjne przestrzenie jako obiekty matematyczne. Jego Theorema Egregium podaje metodę obliczania krzywizny powierzchni bez względu na otaczającą przestrzeń, w której się ona znajduje. Obecnie taką powierzchnię nazywamy rozmaitością, a zgodnie z twierdzeniem w obecnej postaci krzywizna jest jej nieodłączną charakterystyczną własnością. Teoria rozmaitości skupia się wyłącznie na takich własnościach (niezmiennikach), pomijając właściwości zewnętrznej przestrzeni.

Charakterystyka Eulera dla torusa.

Innym bardziej topologicznym przykładem swoistej własności rozmaitości jest charakterystyka Eulera. Leonhard Euler wykazał, że dla wypukłej wielokomórki w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (czyli wielościanu) zachodzi

V - E + F = 2\,

gdzie

V – liczba wierzchołków
E – liczba krawędzi
F – liczba ścian.

Reguła ta pozostanie słuszna, jeśli dokona się rzutu wierzchołków i krawędzi na sferę tworząc mapę topologiczną. Wynika z tego, że 2 jest niezmiennikiem sfery, zwanym jej charakterystyką Eulera. Z drugiej strony, na torusie można wykreślić jeden równoleżnik i jeden południk co daje mapę z 1 wierzchołkiem, 2 krawędziami i 1 ścianą. Stąd charakterystyka Eulera dla torusa wynosi 1-2+1=0. Charakterystyka Eulera to użyteczny niezmiennik topologiczny, który może być rozszerzony na wyższe wymiary przez zastosowanie liczb Bettiego.

Synteza[edytuj | edytuj kod]

Niels Henrik Abel i Carl Gustav Jakob Jacobi, prowadząc badania nad odwrotnością całek eliptycznych w pierwszej połowie XIX wieku, doszli do rozważań nad szczególnymi rozmaitościami zespolonymi, zwanymi dzisiaj Jacobianami. Bernhard Riemann uzupełnił ich teorię, wyjaśniając znaczenie przedłużenia analitycznego funkcji zmiennej zespolonej.

Innym ważnym źródłem rozmaitości w matematyce z XIX wieku była mechanika analityczna. Możliwe stany układu mechanicznego zostały zdefiniowane jako punkty w abstrakcyjnej przestrzeni, przestrzeni fazowej mechaniki klasycznej. Ta przestrzeń jest w rzeczywistości wielowymiarową rozmaitością, której wymiar odpowiada stopniowi swobody układu a punkty są określone przez współrzędne uogólnione. W przypadku nieograniczonego ruchu wolnych cząstek, rozmaitość jest równoważna przestrzeni euklidesowej, lecz prawa zachowania ograniczają go do bardziej skomplikowanych formacji.

Riemann jako pierwszy wykonał wiele prac nad uogólnieniem powierzchni w wyższych wymiarach. Nazwa rozmaitość pochodzi od pierwotnej niemieckiej nazwy Mannigfaltigkeit, wymyślonej przez Riemanna i oznaczającej różnorodność. W swoim wykładzie inauguracyjnym w Getyndze, Riemann opisał zbiór wszystkich możliwych wartości zmiennej z pewnymi ograniczeniami jako Mannigfaltigkeit, ponieważ zmienna może mieć wiele wartości. Jako przykłady wartości Riemann podawał nie tylko kolor czy położenie w przestrzeni, ale także wszystkie możliwe kształty. Korzystając z indukcji dokonał konstrukcji rozmaitości n-wymiarowych jako stos rozmaitości (n-1)-wymiarowych.

Hermann Weyl podał szczegółową definicję rozmaitości różniczkowalnych, otwierając drogę do ogólnego pojęcia przestrzeni topologicznej.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Okrąg[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: okrąg.
Ilustracja 1: Każda z czterech map odwzorowuje fragment okręgu do otwartego przedziału i razem obejmują cały okrąg.

Po linii okrąg jest najprostszym przykładem rozmaitości topologicznej. W topologii wygięcie nie ma znaczenia, mały fragment okręgu jest traktowany tak samo jak mały fragment linii. Biorąc pod uwagę np. górną połówkę okręgu jednostkowego, x2 + y2 = 1, gdzie współrzędna y jest dodatnia (oznaczone łukiem koloru żółtego na Ilustracji 1), każdy punkt półokręgu może być jednoznacznie opisany za pomocą współrzędnej x. Wynika stąd, że rzut na oś x jest ciągły i odwracalny, odwzorowując półokrąg na otwarty przedział (-1,1):

 \chi_{\mathrm{g\acute{o}rny}}(x,y) = x . \,

Taką funkcję wraz z otwartym przedziałem, który ona odwzorowuje, nazywamy mapą. Podobnie tworzymy mapy dla pozostałych fragmentów okręgu: dolny (czerwony), lewy (niebieski) i prawy (zielony). Wszystkie te fragmenty obejmują cały okrąg, a cztery mapy tworzą atlas dla okręgu.

Górna i prawa mapa się nakładają: ich część wspólna leży w ćwiartce okręgu gdzie obie współrzędne x i y są dodatnie. Obie te mapy χgórny i χprawy odwzorowują tę część w przedział (0, 1). Stąd można utworzyć funkcję T z (0, 1) na siebie, gdzie najpierw odwrócimy przedział górny na okrąg, a następnie za pomocą prawej mapy wrócimy na ten sam przedział. Niech a będzie dowolną liczbą z przedziału (0, 1), wtedy:

\begin{align}
 T(a) &= \chi_{\mathrm{prawy}}\left(\chi_{\mathrm{g\acute{o}rny}}^{-1}\left[a\right]\right) \\
      &= \chi_{\mathrm{prawy}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) \\
      &= \sqrt{1-a^2}
\end{align}

Taką funkcję nazywamy przekształceniem przejścia.

Inne krzywe[edytuj | edytuj kod]

Cztery rozmaitości z krzywych algebraicznych.

Rozmaitości nie muszą być spójne (całe w „jednym kawałku”). Prosty przykład stanowi para oddzielnych okręgów. W tym przypadku widać, że rozmaitość nie musi mieć dobrze zdefiniowanego pojęcia odległości, gdyż nie ma sposobu na zdefiniowanie odległości między punktami, które leżą na różnych okręgach.

Przypadek trudnej rozmaitości to dwa styczne okręgi, tworzące kształt cyfry 8. Punkt styczności uniemożliwia utworzenie zadowalającej mapy. Nawet jeśli wyginanie jest dozwolone w topologii, okolice punktu styczności przypominają znak „+”, a nie linię. Kształt „+” nie jest homeomorficzny z odcinkiem, gdyż usunięcie środkowego punktu utworzy przestrzeń czteroelementową, podczas gdy dzielenie odcinka daje w wyniku co najwyżej przestrzeń dwuelementową. Przekształcenia topologiczne zawsze zachowują liczbę elementów.

Wzbogacony okrąg[edytuj | edytuj kod]

Przekształcenie przejścia T dla okręgu to prosta funkcja pomiędzy otwartymi przedziałami. Łatwo zauważyć, że można wobec niej zastosować rachunek różniczkowy i całkowy na przedziale (0, 1), dlatego z tego atlasu wynika, że okrąg to rozmaitość różniczkowalna. Ponadto jest też gładki i analityczny, gdyż przekształcenie przejścia ma także te własności.

Inne właściwości okręgu pozwalają zaliczyć go do bardziej szczególnych rozmaitości. Np. istnieje pojęcie długości łuku czyli odległości między dwoma punktami na okręgu, dlatego okrąg to też rozmaitość riemannowska.

Powierzchnie[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]