Stopień Brouwera

Stopień 2. dwóch map z kuli na siebie

Przykład 4. stopnia

Stopień Brouwera lub inaczej stopień topologiczny – narzędzie pozwalające na określenie, czy dane równanie $f(x)=y$ ma rozwiązanie. Jest jednym z niezmienników topologicznych i ma szerokie zastosowanie w nieliniowej analizie matematycznej.

Definicja dla funkcji o wartościach w $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

Niech $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otwartym i ograniczonym, a $f\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}$ funkcją ciągłą, gdzie ${\overline {\Omega }}$ oznacza domknięcie zbioru $\Omega .$ Niech ponadto $y\notin f(\partial \Omega ).$ Stopniem topologicznym trójki $(f,\Omega ,y)$ nazwiemy liczbę całkowitą $\deg(f,\Omega ,y)$ spełniającą trzy poniższe aksjomaty:

1. $\deg(\mathrm {id} ,\Omega ,y)=\mathbf {1} _{\Omega }(y),$ gdzie $\mathbf {1} _{\Omega }$ oznacza funkcję charakterystyczną zbioru $\Omega ,$ a $\mathrm {id}$ oznacza odwzorowanie identycznościowe zbioru ${\overline {\Omega }}$ (normalizacja).
2. Jeśli $\Omega _{1}$ i $\Omega _{2}$ są rozłącznymi podzbiorami otwartymi zbioru $\Omega$ oraz $y\notin f({\overline {\Omega }}\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2})),$ to $\deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y)$ (addytywność).
3. Jeśli $h\colon {\overline {\Omega }}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{n},\ y\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ są funkcjami ciągłymi, oraz dla dowolnego $t$ mamy $y(t)\notin h(\cdot ,t)(\partial \Omega ),$ to wartość $\deg(h(\cdot ,t),\Omega ,y(t))$ nie zależy od wyboru $t$ (homotopijna niezmienniczość).

Można wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja przyporządkowująca każdej trójce $(f,\Omega ,y)$ liczbę całkowitą $\deg(f,\Omega ,y)$ spełniająca powyższe warunki. Zatem definicja jest poprawna.

Własności stopnia

Stopień topologiczny Brouwera spełnia ponadto następujące własności:

1. Jeśli $\deg(f,\Omega ,y)\neq 0,$ to istnieje $x\in \Omega$ takie, że $y=f(x).$
2. Jeśli $g\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R}$ oraz równość $f(x)=g(x)$ zachodzi dla argumentów z brzegu $x\in \partial \Omega ,$ to $\deg(f,\Omega ,y)=\deg(g,\Omega ,y).$
3. Jeśli $g\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R}$ oraz odległość $\|f-g\|$ pomiędzy tymi funkcjami jest mniejsza od odległości $y$ od obrazu brzegu: $\mathrm {dist} (y,f(\partial \Omega )),$ to $\deg(f,\Omega ,y)=\deg(g,\Omega ,y).$
4. Jeśli $z\in \mathbb {R} ^{n}$ oraz odległość punktów $\|y-z\|$ jest mniejsza od odległości $y$ od obrazu brzegu: $\mathrm {dist} (y,f(\partial \Omega )),$ to $\deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega ,z).$
5. Jeśli $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ jest homeomorfizmem, to $\deg(f,\Omega ,y)=\deg(\varphi \circ f\circ \varphi ^{-1},\varphi (\Omega ),\varphi (y)).$
6. Jeśli $A$ jest zbiorem domkniętym i $y\notin f(A),$ to $\deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega \setminus A,y).$

Związek z indeksem Morse’a

Dla dowolnego odwzorowania liniowego, odwracalnego (izomorfizmu) $A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ przez $m_{-}(A)$ oznacza się indeks Morse’a, tj. sumę krotności algebraicznych wszystkich ujemnych wartości własnych odwzorowania $A.$ Niech $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ oznacza zbiór otwarty i ograniczony, i niech $y\notin A(\partial \Omega ).$ Wtedy, jeśli $y\notin A(\Omega ),$ to stopień topologiczny $\deg(A,\Omega ,y)$ jest równy 0, a w przeciwnym wypadku wynosi $(-1)^{m_{-}(A)}.$

Zastosowania

Stopień Brouwera często stosuje się w teorii bifurkacji równań różniczkowych, np. w dowodzie twierdzenia Krasnosielskiego o istnieniu punktów bifurkacji. W problemach nieskończenie wiele wymiarowych stosuje się odpowiednie uogólnienia stopnia Brouwera, np. stopień Leray-Schaudera.

Bibliografia

• Jacek Gulgowski, Wacław Marzantowicz: Wstęp do analizy nieliniowej, część 1: Teoria stopnia. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2003. ISBN 97-88323213-16-1. (pol.).brak strony w książce