Stopień Brouwera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Stopień 2. dwóch map z kuli na siebie
Przykład 4. stopnia

Stopień Brouwera, lub inaczej stopień topologiczny, jest narzędziem pozwalającym na określenie, czy dane równanie f (x) = y ma rozwiązanie. Jest jednym z niezmienników topologicznych i ma szerokie zastosowanie w nieliniowej analizie matematycznej.

Definicja dla funkcji o wartościach w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej[edytuj | edytuj kod]

Niech \Omega \subseteq \mathbb{R}^n będzie zbiorem otwartym i ograniczonym, a f\colon \overline{\Omega} \longrightarrow \mathbb{R}^n funkcją ciągłą, gdzie \overline{\Omega} oznacza domknięcie zbioru Ω. Niech ponadto y \notin f( \partial \Omega). Stopniem topologicznym trójki (f, \Omega, y) nazwiemy liczbę całkowitą \mathrm{deg} (f, \Omega, y) spełniającą trzy poniższe aksjomaty:

  1. \mathrm{deg} (\mathrm{id}, \Omega, y) = \mathbf 1_\Omega (y), gdzie \mathbf 1_\Omega oznacza indykator zbioru Ω, a \mathrm{id} oznacza odwzorowanie identycznościowe zbioru \overline{\Omega} (normalizacja).
  2. Jeśli \Omega_1 i \Omega_2 są rozłącznymi podzbiorami otwartymi zbioru \Omega oraz y \notin f( \overline{\Omega} \setminus (\Omega_1 \cup \Omega_2)), to \mathrm{deg} (f, \Omega, y) = \mathrm{deg} (f, \Omega_1, y) + \mathrm{deg} (f, \Omega_2, y) (addytywność).
  3. Jeśli h\colon \overline{\Omega} \times [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^n, \ y\colon [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^n są funkcjami ciągłymi, oraz dla dowolnego t mamy y(t) \notin h(\cdot, t)(\partial \Omega), to wartość \mathrm{deg}(h(\cdot, t), \Omega, y(t)) nie zależy od wyboru t (homotopijna niezmienniczość).


Można wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja przyporządkowująca każdej trójce (f, \Omega, y) liczbę całkowitą \mathrm{deg} (f, \Omega, y) spełniająca powyższe warunki. Zatem definicja jest poprawna.

Własności stopnia[edytuj | edytuj kod]

Stopień topologiczny Brouwera spełnia ponadto następujące własności:

  1. Jeśli \mathrm{deg} (f, \Omega, y) \neq 0, to istnieje x \in \Omega takie, że y = f (x).
  2. Jeśli g\colon \overline{\Omega} \longrightarrow \mathbb{R} oraz równość f(x) = g(x) zachodzi dla argumentów z brzegu x \in \partial \Omega, to \mathrm{deg} (f, \Omega, y) = \mathrm{deg} (g, \Omega, y).
  3. Jeśli g\colon \overline{\Omega} \longrightarrow \mathbb{R} oraz odległość \| f-g \| pomiędzy tymi funkcjami jest mniejsza od odległości y od obrazu brzegu: \mathrm{dist}(y, f( \partial \Omega)), to \mathrm{deg} (f, \Omega, y) = \mathrm{deg} (g, \Omega, y).
  4. Jeśli z \in \mathbb{R}^n oraz odległość punktów  \| y-z \| jest mniejsza od odległości y od obrazu brzegu: \mathrm{dist}(y, f( \partial \Omega)), to \mathrm{deg} (f, \Omega, y) = \mathrm{deg} (f, \Omega, z).
  5. Jeśli \varphi \colon \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n jest homeomorfizmem, to \mathrm{deg} (f, \Omega, y) = \mathrm{deg} (\varphi \circ f \circ \varphi^{-1}, \varphi(\Omega), \varphi(y)).
  6. Jeśli A jest zbiorem domkniętym i y \notin f(A), to \mathrm{deg} (f, \Omega, y) = \mathrm{deg} (f, \Omega \setminus A, y).

Związek z indeksem Morse'a[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego odwzorowania liniowego, odwracalnego (izomorfizmu) A\colon \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n przez m_{-} (A) oznacza się indeks Morse'a, tj. sumę krotności algebraicznych wszystkich ujemnych wartości własnych odwzorowania A. Niech \Omega \subseteq \mathbb{R}^n oznacza zbiór otwarty i ograniczony, i niech y \notin A(\partial \Omega). Wtedy, jeśli y \notin A(\Omega), to stopień topologiczny \mathrm{deg}(A,\Omega,y) jest równy 0, a w przeciwnym wypadku wynosi (-1)^{m_{-}(A)}.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Stopień Brouwera często stosuje się w teorii bifirkacji równań różniczkowych, np. w dowodzie twierdzenia Krasnosielskiego o istnieniu punktów bifurkacji. W problemach nieskończenie wiele wymiarowych stosuje się odpowiednie uogólnienia stopnia Brouwera, np. stopień Leray-Schaudera.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Gulgowski, Wacław Marzantowicz: Wstęp do analizy nieliniowej, część 1: Teoria stopnia. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2003. ISBN 97-88323213-16-1. (pol.)