Wstęga Newtona

Fraktal Newtona dla $z_{i+1} = z_i^3 - 1\!$

Fraktal Newtona dla z³ - 1 = 0

Fraktal Newtona dla równania $p(z)=z^5-1$

Wstęga Newtona (znany też jako fraktal Newtona albo basen Newtona) jest zbiorem Julii meromorficznej funkcji $z\mapsto z-\tfrac{p(z)}{p'(z)}$ , która jest dana przez metodę Newtona, dla wielomianów $p(Z)\in\mathbb{C}[Z]$ .

Fraktale Newtona otrzymuje się w następujący sposób: niech $\zeta_1, \zeta_2, \dots, \zeta_n$ będą pierwiastkami wielomianu $p(z)$ , gdzie $n = deg(p)$ . Każdemu z nich przypiszemy inny kolor, odpowiednio $c_1, c_2, \dots, c_n$ . Dodatkowo wybieramy jeszcze kolor $c_{n+1}$ .

Następnie wybieramy jakiś zbiór $w$ punktów na płaszczyźnie zespolonej i każdy rysujemy kolorem c(w), gdzie procedura wybierania c(w) jest następująca:

$z_0 = w; z_{k+1} = z_k - \frac {p(z_k)} {p'(z_k)}$ (dla $k \geq 0$ )
jeśli $\displaystyle \lim_{n -> \infty} {z_n} = \zeta_k$ , to $c(w) = c_k$ . Jeśli nie istnieje takie $\zeta_k$ (czyli metoda nie zbiega dla danego $z_0$ , to $c(w) = c_{n+1}$ .