Wstęga Newtona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Fraktal Newtona dla z_{i+1} = z_i^3 - 1\!
Fraktal Newtona dla z3 - 1 = 0
Fraktal Newtona dla równania p(z)=z^5-1

Wstęga Newtona (znany też jako fraktal Newtona albo basen Newtona) jest zbiorem Julii meromorficznej funkcji z\mapsto z-\tfrac{p(z)}{p'(z)}, która jest dana przez metodę Newtona, dla wielomianów p(Z)\in\mathbb{C}[Z].

Fraktale Newtona otrzymuje się w następujący sposób: niech \zeta_1, \zeta_2, \dots, \zeta_n będą pierwiastkami wielomianu p(z), gdzie n = deg(p). Każdemu z nich przypiszemy inny kolor, odpowiednio c_1, c_2, \dots, c_n. Dodatkowo wybieramy jeszcze kolor c_{n+1}.

Następnie wybieramy jakiś zbiór w punktów na płaszczyźnie zespolonej i każdy rysujemy kolorem c(w), gdzie procedura wybierania c(w) jest następująca:

  1. z_0 = w; z_{k+1} = z_k - \frac {p(z_k)} {p'(z_k)} (dla k \geq 0)
  2. jeśli \displaystyle \lim_{n -> \infty} {z_n} = \zeta_k, to c(w) = c_k. Jeśli nie istnieje takie \zeta_k (czyli metoda nie zbiega dla danego z_0, to c(w) = c_{n+1}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Commons in image icon.svg