Kostka Mengera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Kostka Mengera po 4 iteracjach IFS

Kostka Mengera, gąbka Mengerabryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

log320 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,726833.

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematyka Karla Mengera w roku 1927.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

  1. Dany jest sześcian
  2. Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian
  3. Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku
  4. Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Poniższy pseudokod, będący rekurencyjną implementacją kostki Mengera, wykorzystywany jest często w wielu językach programowania, przy czym:

  • n – złożoność – liczba całkowita nieujemna,
  • x,y,z – współrzędne środka,
  • d – długość krawędzi:
Menger(n,x,y,z,d):
 jeżeli n=0
  to utwórzSześcian(x,y,z,d)
  w przeciwnym przypadku
   dla i={-1,0,1}
    dla j={-1,0,1}
     dla k={-1,0,1}
      jeżeli (i*i+j*j)*(i*i+k*k)*(j*j+k*k)>0
       to Menger(n-1,x+i*d/3,y+j*d/3,z+k*d/3,d/3)
Sześcian
1. iteracja
2. iteracja
3. iteracja
4. iteracja
5. iteracja

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jej miara Lebesgue'a jest równa 0.

Definicje formalne[edytuj | edytuj kod]

Definicja rekurencyjna[edytuj | edytuj kod]

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące:

M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n

gdzie M0 oznacza sześcian {(x,y,z) : 0 ≤ x,y,z ≤ 1}

M_{n+1} := \left\{
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: \  {
\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n
\atop \mbox{ i co najwyzej jedna z liczb }i,j,k\mbox{ jest rowna 1 }}
\right\}

Definicja nierekurencyjna[edytuj | edytuj kod]

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób nie używając rekurencji:
Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów (x,y,z) takich, że 0 ≤ x,y,z ≤ 1 i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych x,y,z w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikimedia Commons

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]