Kostka Mengera

Kostka Mengera po 4 iteracjach IFS

Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

log₃20 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,726833.

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematyka Karla Mengera w roku 1927.

Konstrukcja

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

1. Dany jest sześcian
2. Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian
3. Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku
4. Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Poniższy pseudokod, będący rekurencyjną implementacją kostki Mengera, wykorzystywany jest często w wielu językach programowania, przy czym:

• n – złożoność – liczba całkowita nieujemna,
• x,y,z – współrzędne środka,
• d – długość krawędzi:

Menger(n,x,y,z,d):
 jeżeli n=0
  to utwórzSześcian(x,y,z,d)
  w przeciwnym przypadku
   dla i={-1,0,1}
    dla j={-1,0,1}
     dla k={-1,0,1}
      jeżeli (i*i+j*j)*(i*i+k*k)*(j*j+k*k)>0
       to Menger(n-1,x+i*d/3,y+j*d/3,z+k*d/3,d/3)

Sześcian

1. iteracja

2. iteracja

3. iteracja

4. iteracja

5. iteracja

Własności

Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jej miara Lebesgue'a jest równa 0.

Definicje formalne

Definicja rekurencyjna

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące:

$M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n$

gdzie M₀ oznacza sześcian {(x,y,z) : 0 ≤ x,y,z ≤ 1}

$M_{n+1} := \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3: \ { \exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n \atop \mbox{ i co najwyzej jedna z liczb }i,j,k\mbox{ jest rowna 1 }} \right\}$

Definicja nierekurencyjna

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób nie używając rekurencji:
Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów (x,y,z) takich, że 0 ≤ x,y,z ≤ 1 i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych x,y,z w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

Zobacz też

• piramida Sierpińskiego

Linki zewnętrzne

• Kostka Mengera (ang.) w encyklopedii MathWorld
• Prosty model kostki Mengera