Dywan Sierpińskiego

Dywan Sierpińskiego po 6 krokach

Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

Definicja

Niech $D_0\,$ będzie kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie kartezjańskiej $\mathbb R^2\,$, czyli $D_0 = \left\{\left(x, y\right)\in\mathbb R^2|x, y\in\left[0, 1\right]\right\}.\,$ Dla danego $n\in\mathbb N\,$, mając zbiór $D_n\,$, będący sumą $8^n\,$ kwadratów o bokach długości $\frac{1}{3^n}$ i rozłącznych wnętrzach, definiujemy zbiór $D_{n+1}\,$, będący sumą $8^{n+1}\,$ kwadratów o bokach długości $\frac{1}{3^{n+1}}$ i rozłącznych wnętrzach następująco: każdy z kwadratów, których sumą jest zbiór $D_n\,$ dzielimy na 9 kwadratów o bokach długości $\frac{1}{3^{n+1}}$ i rozłącznych wnętrzach i usuwamy ze zbioru $D_n\,$ wnętrza środkowych kwadratów. Dywan Sierpińskiego D jest częścią wspólną ciągu zbiorów $D_n\,$:

$D = \bigcap\limits_{n\in\mathbb N}D_n.\,$

Alternatywna definicja

Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów $(x, y)\in\mathbb R^2,\ 0\le x\le 1, 0\le y\le 1,$ takich że w rozwinięciu liczb x i y w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.

Topologicznym dywanem Sierpińskiego nazywamy każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z powyżej zdefiniowanym dywanem Sierpińskiego.

Własności dywanu Sierpińskiego

• Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1,8928...
• Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe

Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy z każdego z kwadratów składowych środkowy kwadrat o polu 9 razy od niego mniejszym, pozostaje zaś z niego 8 kwadratów o łącznym polu równym $\begin{matrix}\frac{8}{9}\end{matrix}$ jego pola. Niech S_n oznacza pole zbioru D_n. Mamy zatem:

$S_{n+1}=\frac{8}{9}S_{n}, n=0, 1, 2...; S_0=1,$

skąd:

$S_n=\left({\frac{8}{9}}\right)^n, n=0, 1, 2...$

Zatem dla n dostatecznie dużych S_n jest dowolnie małe, co oznacza, że dywan Sierpińskiego zawarty jest w figurach o dowolnie małych polach powierzchni, musi zatem mieć zerowe pole powierzchni.

• Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.

Zobacz też

• fraktal
• trójkąt Sierpińskiego
• kostka Mengera
• krzywa
• zbiór Cantora

Bibliografia

• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii, Część I, Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1986, s. 247-248. ISBN 83-01-05714-9. 
• Ryszard Engelking, Karol Sieklucki: Geometria i topologia, Część II, Topologia. Warszawa: PWN, 1980, s. 131-132. ISBN 83-01-01371-0.