Dywan Sierpińskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Dywan Sierpińskiego po 6 krokach

Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech D_0\, będzie kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie kartezjańskiej \mathbb R^2\,, czyli D_0 = \left\{\left(x, y\right)\in\mathbb R^2|x, y\in\left[0, 1\right]\right\}.\, Dla danego n\in\mathbb N\,, mając zbiór D_n\,, będący sumą 8^n\, kwadratów o bokach długości \frac{1}{3^n} i rozłącznych wnętrzach, definiujemy zbiór D_{n+1}\,, będący sumą 8^{n+1}\, kwadratów o bokach długości \frac{1}{3^{n+1}} i rozłącznych wnętrzach następująco: każdy z kwadratów, których sumą jest zbiór D_n\, dzielimy na 9 kwadratów o bokach długości \frac{1}{3^{n+1}} i rozłącznych wnętrzach i usuwamy ze zbioru D_n\, wnętrza środkowych kwadratów. Dywan Sierpińskiego D jest częścią wspólną ciągu zbiorów D_n\,:

D = \bigcap\limits_{n\in\mathbb N}D_n.\,

Alternatywna definicja[edytuj | edytuj kod]

Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów (x, y)\in\mathbb R^2,\  0\le x\le 1, 0\le y\le 1, takich że w rozwinięciu liczb x i y w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.

Topologicznym dywanem Sierpińskiego nazywamy każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z powyżej zdefiniowanym dywanem Sierpińskiego.

Własności dywanu Sierpińskiego[edytuj | edytuj kod]

  • Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1,8928...
  • Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe
Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy z każdego z kwadratów składowych środkowy kwadrat o polu 9 razy od niego mniejszym, pozostaje zaś z niego 8 kwadratów o łącznym polu równym \begin{matrix}\frac{8}{9}\end{matrix} jego pola. Niech S_n oznacza pole zbioru D_n. Mamy zatem:
S_{n+1}=\frac{8}{9}S_{n}, n=0, 1, 2...; S_0=1,
skąd:
S_n=\left({\frac{8}{9}}\right)^n, n=0, 1, 2...
Zatem dla n dostatecznie dużych S_n jest dowolnie małe, co oznacza, że dywan Sierpińskiego zawarty jest w figurach o dowolnie małych polach powierzchni, musi zatem mieć zerowe pole powierzchni.
  • Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Commons in image icon.svg

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Roman Duda: Wprowadzenie do topologii, Część I, Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1986, s. 247-248. ISBN 83-01-05714-9.
  • Ryszard Engelking, Karol Sieklucki: Geometria i topologia, Część II, Topologia. Warszawa: PWN, 1980, s. 131-132. ISBN 83-01-01371-0.