Wzór Möbiusa

Wzór Möbiusa – w matematyce to twierdzenie wiążące funkcje arytmetyczne z funkcją Möbiusa. Został on odkryty w XIX wieku przez Augusta Möbiusa.

Postać wzoru

Wzór Möbiusa mówi, że dla dowolnych funkcji arytmetycznych f i g następujące wzory są równoważne:

$\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\sum\limits_{d|n}^{}f(d)=g(n)$

$\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}f(n)=\sum\limits_{d|n}^{}\mu(d)g(\frac{n}{d})$

$\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\sum\limits_{n\leqslant N}^{}g(n)=\sum\limits_{d\leqslant N}^{}f(n)\left[\frac{N}{d}\right]$,

gdzie $\mu(d)$ jest funkcją Möbiusa.

Dowód

Oznaczmy przez I funkcję tożsamościowo równą 1, a przez * splot Dirichleta. Przekształcając równoważnie pierwszy wzór mamy: $\sum\limits_{d|n}^{}f(d)=g(n)\Leftrightarrow I*f=g$, a ponieważ $\mu(d)*I(d)=\varepsilon(d)$, gdzie $\varepsilon$ jest elementem neutralnym splotu Dirichleta, to $I*f=g\Leftrightarrow f=g*\mu \Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{d|n}^{}\mu(d)g(\frac{n}{d})$. Zatem dwa pierwsze wzory są równoważne.

Załóżmy teraz, że pierwszy wzór zachodzi. Mamy zatem:

$\sum\limits_{n\leqslant N}^{}g(n)=\sum\limits_{n\leqslant N}^{}\sum\limits_{d|n}^{}f(d)=\sum\limits_{d\leqslant N}^{}f(d)\sum\limits_{n\leqslant N \atop d|n}^{}1$,

a ponieważ ilość liczb n spełniających warunek prawej strony równości wynosi $\left[\frac{N}{d}\right]$, to otrzymujemy trzeci wzór.

Jeśli z kolei zachodzi trzeci wzór, to przeprowadzając rozważania odwrotnie otrzymujemy

$\sum\limits_{n\leqslant N}^{}g(n)=\sum\limits_{n\leqslant N}^{}\sum\limits_{d|n}^{}f(d)$

oraz

$\sum\limits_{n\leqslant N-1}^{}g(n)=\sum\limits_{n\leqslant N-1}^{}\sum\limits_{d|n}^{}f(d)$,

a po odjęciu stronami otrzymujemy pierwszy wzór.

Zobacz też

• Splot Dirichleta
• Funkcja Möbiusa

Bibliografia

1. W. Narkiewicz Teoria liczb, (1977) Państwowe Wydawnictwo Naukowe.