Wzór Möbiusa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór Möbiusa – w matematyce to twierdzenie wiążące funkcje arytmetyczne z funkcją Möbiusa. Został on odkryty w XIX wieku przez Augusta Möbiusa.

Postać wzoru[edytuj | edytuj kod]

Wzór Möbiusa mówi, że dla dowolnych funkcji arytmetycznych f i g następujące wzory są równoważne:

\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\sum\limits_{d|n}^{}f(d)=g(n)

\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}f(n)=\sum\limits_{d|n}^{}\mu(d)g(\frac{n}{d})

\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\sum\limits_{n\leqslant N}^{}g(n)=\sum\limits_{d\leqslant N}^{}f(n)\left[\frac{N}{d}\right],

gdzie \mu(d) jest funkcją Möbiusa.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Oznaczmy przez I funkcję tożsamościowo równą 1, a przez * splot Dirichleta. Przekształcając równoważnie pierwszy wzór mamy: \sum\limits_{d|n}^{}f(d)=g(n)\Leftrightarrow I*f=g, a ponieważ \mu(d)*I(d)=\varepsilon(d), gdzie \varepsilon jest elementem neutralnym splotu Dirichleta, to I*f=g\Leftrightarrow f=g*\mu \Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{d|n}^{}\mu(d)g(\frac{n}{d}). Zatem dwa pierwsze wzory są równoważne.

Załóżmy teraz, że pierwszy wzór zachodzi. Mamy zatem:

\sum\limits_{n\leqslant N}^{}g(n)=\sum\limits_{n\leqslant N}^{}\sum\limits_{d|n}^{}f(d)=\sum\limits_{d\leqslant N}^{}f(d)\sum\limits_{n\leqslant N \atop d|n}^{}1,

a ponieważ ilość liczb n spełniających warunek prawej strony równości wynosi \left[\frac{N}{d}\right], to otrzymujemy trzeci wzór.

Jeśli z kolei zachodzi trzeci wzór, to przeprowadzając rozważania odwrotnie otrzymujemy

\sum\limits_{n\leqslant N}^{}g(n)=\sum\limits_{n\leqslant N}^{}\sum\limits_{d|n}^{}f(d)

oraz

\sum\limits_{n\leqslant N-1}^{}g(n)=\sum\limits_{n\leqslant N-1}^{}\sum\limits_{d|n}^{}f(d),

a po odjęciu stronami otrzymujemy pierwszy wzór.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. W. Narkiewicz Teoria liczb, (1977) Państwowe Wydawnictwo Naukowe.