Wyrażenie algebraiczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wyrażenie algebraicznesyntaktycznie wyrażenie matematyczne, złożone z jednego lub większej liczby symboli algebraicznych (tzn. stałych lub zmiennych), połączonych znakami działań (+, -, ·, : , potęgi i pierwiastka) i ewentualnie nawiasów, zgodnie z regułami notacji matematycznej[1].

Semantycznie wyrażenie algebraiczne, jako wyrażenie dobrze zbudowane w języku algebry, jest zapisem pewnego algorytmu złożonego z elementarnych działań dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania[2] (pierwiastkowanie sprowadza się do potęgowania).

Najprostsze wyrażenia algebraiczne to pojedyncze stałe (np. 5) oraz zmienne (np. x), bardziej skomplikowane to m.in. jednomiany (np. 3x^2 y^3\;), dwumiany (np. 3x^2y+xy^3\;), wielomiany (np. 2a^3+5a^2-ab+8\;), zapisy typu \sqrt[x]{y} czy

\frac{\sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}}}{x-y}.

Nie są natomiast wyrażeniami algebraicznymi zapisy złożone z symboli algebraicznych, ale pozbawione sensu, np. ^a+\cdot(, wyrażenia w których uczestniczą symbole funkcji, np. \sin x\; albo relacji[3], np. a=b\;. Na ogół zakłada się, że wyrażenia algebraiczne mają skończoną długość[2], nie jest więc wyrażeniem algebraicznym np. ułamek:

2+\frac{4}{3+\frac{1\cdot 3}{4+\frac{3\cdot 5}{4+\frac{5\cdot 7}{4+...}}}}

Niektórzy autorzy wymagają, aby stałe w wyrażeniu algebraicznym były liczbami algebraicznymi[4].

Jeśli w wyrażeniu algebraicznym nie występuje potęgowanie o niecałkowitym wykładniku (czyli także pierwiastkowanie stopnia innego niż \tfrac{1}{k}, k\in\mathbb Z\setminus\{0\}), to jest ono wyrażeniem wymiernym. W przeciwnym wypadku jest wyrażeniem niewymiernym[5]

W informatyce stosowane jest zbliżone (nieco szersze) pojęcie wyrażenia arytmetycznego[6]. Inni zaś uważają, że wyrażenie matematyczne nie zawierające zmiennych to wyrażenie arytmetyczne, a zawierające zmienne to wyrażenie algebraiczne[3].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 155.
  2. 2,0 2,1 Dictionary of Scientific and Technical Terms: algebraic expression. Wyd. 6. McGraw-Hill.
  3. 3,0 3,1 David L. Heiserman: Pre-algebra Chapter 8 Expressions and Equations. [dostęp 17 czerwca 2009].
  4. Eric W. Weisstein: CRC concise encyclopedia of mathematics. Wyd. 2. CRC Press, 2003, s. 48. ISBN 1584883472, 9781584883470.
  5. Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wydawnictwo Europa, 1998, s. 316. ISBN 83-85336-06-0.
  6. Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: WSiP, 1990, s. 323.