Szereg harmoniczny

Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots$

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

nazywają się liczbami harmonicznymi.

Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących:

$\operatorname {H} \left({\frac {1}{n-1}},{\frac {1}{n+1}}\right)={\frac {2}{\left({\frac {1}{n-1}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{-1}}}={\frac {2}{(n-1)+(n+1)}}={\frac {1}{n}}.$

Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Rozbieżność szeregu harmonicznego

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .$

Dowód Mikołaja z Oresme

Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.

$1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\ldots +\underbrace {\left({\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+2}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}\right)} _{2^{n}\ {\text{składników}}}+\ldots$

Ponieważ

${\frac {1}{2}}\geqslant {\frac {1}{2}}$

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\ >\ {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}$

${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\ >\ {\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}={\frac {1}{2}}$

i ogólnie

${\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+2}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}\ >\ \underbrace {{\frac {1}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}} _{2^{n}\ {\text{identycznych składników}}}={\frac {1}{2}},$

więc

$H_{2^{n}}\geqslant 1+{\tfrac {1}{2}}n.$

Oznacza to, że ciąg sum częściowych $H_{i}$ jest rozbieżny do $\infty$.

Dowód Pietra Mengolego

W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli.

Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:

$1+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{3k-1}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k+1}}\right)+\ldots$

Ponieważ

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}>1$

${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}>{\frac {1}{2}}$

${\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}>{\frac {1}{3}}$

i ogólnie

${\frac {1}{3k-1}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k+1}}={\frac {27k^{2}-1}{3k(9k^{2}-1)}}={\frac {1}{k}}+{\frac {2}{3k(9k^{2}-1)}}>{\frac {1}{k}},$

więc

$H_{3k+1}>1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{k}}=1+H_{k},$

co w efekcie daje

$H_{3k+1}-H_{k}>1.$

Oznacza to, że ciąg sum częściowych $H_{i}$ nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.

Dowód Bradleya

Bradley podał w roku 2000 następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.

Dla dowolnej liczby $x>-1$ spełniona jest nierówność

$x\geqslant \ln(x+1),$

a stąd

${\frac {1}{k}}\geqslant \ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)=\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)=\ln(k+1)-\ln k.$

Ciąg sum częściowych można więc oszacować:

${\begin{aligned}H_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\geqslant \sum _{k=1}^{n}(\ln(k+1)-\ln k)=\ln(n+1).\end{aligned}}$

Ponieważ

$\lim _{n\to \infty }\ln(n+1)=\infty ,$

zachodzi

$\lim _{n\to \infty }H_{n}=\infty .$

Ciąg liczb harmonicznych

Ciąg liczb harmonicznych $(H_{n})$ jest rozbieżny do $\infty ,$ ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:

$\lim _{n\to \infty }(\ H_{n}-\ln(n)\ )=\gamma ,$

gdzie $\gamma$ = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby $H_{n}$ jest dane wzorem

$H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{4}}}\right).$

Niektóre uogólnienia

Uogólniony szereg harmoniczny postaci

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}$

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach $a\neq 0,b\in \mathbb {R} ,an+b\neq 0.$

Euler udowodnił rozbieżność szeregu

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}},$

gdzie $p_{n}$ jest $n$-tą liczbą pierwszą.

Szeregi harmoniczne wyższych rzędów

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\ldots$

Szereg ten jest zbieżny dla $\alpha >1$ i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by $\alpha$ przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie $\alpha ,$ dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta $\zeta$ Riemanna:

$\zeta (\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.

Ponadto, szereg naprzemienny

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.$

jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.

Natomiast szereg:

$\sum _{n=1}^{\infty }\epsilon _{n}{\frac {1}{n}},$

gdzie $\epsilon _{n}$ to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe ${\frac {1}{n^{2}}},$ co jest szeregiem zbieżnym.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.