Szereg harmoniczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: artykuł dotyczący muzyki.

Szereg harmonicznyszereg liczbowy postaci

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots

Jego nazwa wzięła się stąd, że długości fal kolejnych alikwotów drgającej struny są proporcjonalne do 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Każdy wyraz szeregu od drugiego włącznie jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących.

Rozbieżność szeregu harmonicznego[edytuj | edytuj kod]

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności, tj.

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty.

Dowód Mikołaja z Oresme[edytuj | edytuj kod]

Poniższy dowód rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważnych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots=
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots>
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) +\dots=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots

Ponieważ suma liczb w każdym nawiasie wynosi 1/2, ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy skończonej.

Dowód Bradleya[1][edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej liczby x > - 1 spełniona jest nierówność x ≥ ln(x + 1), a więc

\frac{1}{k}\geqslant \ln\left(1+ \frac{1}{k}\right)= \ln\left(\frac{k+1}{k}\right)  = \ln(k+1) - \ln k.

Ciąg sum częściowych można więc oszacować

\begin{array}{lcl}H_n & = & \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \\ & \geqslant & \sum_{k=1}^n (\ln(k+1) - \ln k)\\
& = & \ln(n+1).  \end{array}

Ponieważ lim ln(n + 1) = ∞, więc również lim Hn = ∞.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Tak zwany uogólniony szereg harmoniczny

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach a \ne 0, b\in \mathbb{R}, an+b \ne 0

Euler udowodnił, że również szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny.

Liczby harmoniczne[edytuj | edytuj kod]

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},

tak zwane liczby harmoniczne, rosną jednak bardzo powoli. Mamy bowiem następującą równość:

 \lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma

gdzie γ = 0.5772156649... jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby Hn jest dane wzorem  H_{n} = \ln n + \gamma + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{12 n^2} + O(\frac{1}{n^4})

Szeregi harmoniczne wyższych rzędów[edytuj | edytuj kod]

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywamy szereg postaci:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\frac{1}{4^{\alpha}}+\dots

Szereg ten jest zbieżny dla α>1 i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuścimy, by α przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie α, dla której szereg jest zbieżny, przypiszemy jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta ς Riemanna:

 \zeta(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.

Zauważmy w końcu, że naprzemienny szereg harmoniczny jest zbieżny, jednak tylko warunkowo

\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = \ln 2.

Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.

Szereg:

\sum_{n = 1}^\infty \epsilon_n\frac{1}{n}

gdzie \epsilon_n to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno.

Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe \frac{1}{n^2}, co jest szeregiem zbieżnym.

Przypisy

  1. D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, American Mathematical Monthly, 107 (2000), 651.