Zginanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Zginanie pręta

Zginanie – w wytrzymałości materiałów stan deformacji, przy którym prosty w stanie niezdeformowanym pręt, po deformacji jest zakrzywiony (wykazuje różną od zera krzywiznę).

Zginanie jest dominującym sposobem pracy elementów konstrukcji, którymi są belki.

Ze względów technicznych, dla materiałów liniowo-sprężystych, rozróżnia się kilka przypadków szczególnych zginania:

  • czyste zginanie – naprężenia w przekroju redukują się jedynie do momentu zginającego, brak jest sił podłużnych i sił poprzecznych (ścinających),
  • proste zginanie – naprężenia redukują się do momentu i sił poprzecznych,
  • ściskanie/rozciąganie mimośrodowe – naprężenia redukują się do momentu i siły podłużnej, siły poprzeczne mogą ale nie muszą wystąpić.

Zginanie jest pokrewne rozciąganiu i ściskaniu, gdyż powoduje pojawienie się naprężeń normalnych w przekrojach poprzecznych elementu. W przeciwieństwie jednak do rozciągana i ściskania, rozkład naprężeń normalnych w przekroju elementu jest nierównomierny.

Teoria Bernoulliego-Eulera zginania pręta[edytuj | edytuj kod]

Założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta przed deformacją pozostaje prosty i prostopadły po deformacji.

Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą:

 \epsilon_x = \pm \frac{z}{\rho}

gdzie arbitralność znaku wynika z przyjętej parametryzacji dla obliczenia promienia krzywizny.

Odkształcenia wywołują naprężenia normalne:

 \sigma_x =  \pm E \frac{z}{\rho}

Obliczając siłę podłużną w przekroju

 N=\int_A \sigma_x dA =  \pm E \int_A \frac{z}{\rho} dA= \pm \frac{E}{\rho} \int_A z dA = \pm \frac{E}{\rho} S_x

oraz moment zginający

 M=\int_A z\sigma_x dA =  \pm E \int_A  \frac{z^2}{\rho} dA =
\pm \frac{E}{\rho} \int_A z^2 dA = \pm \frac{E}{\rho} J_x

gdzie  J_x jest momentem bezwładności względem osi x pręta.

Jeśli wielkości przekrojowe są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to  S_x=0 oraz  N=0 (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie

 \frac{EJ_x}{ \rho(x)} = \pm M(x)

Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju

 \sigma_x(z) =  \pm  \frac{z\cdot M}{J_x}

Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia:

 \frac{1}{\rho}\approx \pm w''(x)

otrzymując równanie różniczkowe:

 EJ_x w''(x) = \pm M(x)

gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów.

Jeśli  M(x) = const to jest to przypadek czystego zginania. Równaniem linii ugięcia jest parabola i jest to rozwiązanie ścisłe, pozbawione sprzeczności.

Jeśli moment jest zmienny względem x to z tw. Schwedlera-Żurawskiego wynika istnienie sił poprzecznych. Wtedy równanie linii ugięcia staje się równaniem czwartego rzędu:

 EJ_x w^{IV} = - q(x)

Jest to przypadek prostego zginania. Prowadzi on do wewnętrznie sprzecznego rozwiązania – nie są spełnione warunki nierozdzielności. Pomimo tego jest on używany do praktycznego projektowania, gdyż dla prętów długich w stosunku do rozmiarów przekroju błąd jest pomijalny. Dla prętów krępych (krótkich w stosunku do wymiarów przekroju) zginanie jest lepiej opisywane przez teorię Timoshenki.

Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla  z_{max} i wynosi:


\sigma_{max} = \frac {M_x} {W_x}

Gdzie:

σmax − maksymalne naprężenie normalne
Mxmoment gnący (zginający)
Wx − wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, którego wartość wynosi  W=\frac{J_x}{z_{max}} i zależy od rozmiaru i kształtu przekroju elementu.

Zgodnie z hipoteza wytężeniową naprężenie musi spełniać warunek:


\sigma_{max} < k_g

Gdzie: kg − dopuszczalna wytrzymałość na zginanie

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Stefan Piechnik: Wytrzymałość materiałów : dla wydziałów budowlanych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980. ISBN 8301008733.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Wskaźniki wytrzymałości dla różnych przekrojów