Środek ciężkości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy środka ciężkości w fizyce i astronomii. Zobacz też: barycentrum w geometrii (topologii).
Dwa ciała o jednakowych masach krążące wokół wspólnego barycentrum.
Dwa ciała o zbliżonych masach krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Pluton i Charon).
Dwa ciała o dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum.
Dwa ciała o bardzo dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Ziemia i Księżyc).
Barycentrum Układu Słonecznego w latach 1945 - 1995

Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.

Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy dlatego pojęcia te często są mylone lub wręcz utożsamiane. W geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy.

Znajdowanie środka ciężkości[edytuj | edytuj kod]

Dla ciał dających się przedstawić (dokładnie lub z wystarczającym przybliżeniem) w postaci skończonego lub co najwyżej przeliczalnego zbioru mas punktowych, środek ciężkości znajduje się, obliczając punkt przyłożenia wypadkowej siły ciężkości działającej na ciało. Dane ciało dzieli się na elementy o masach m_k, k=1, 2, 3 \dots (niekoniecznie równych), z każdym elementem wiąże się wektor \vec r_k, reprezentujący jego położenie w obranym układzie współrzędnych oraz wartość g(\vec{r_k}) przyspieszenia grawitacyjnego działającego w punkcie \vec r_k. Wówczas środek ciężkości ciała wyraża się przez:

\vec r_0={{\sum_k m_k g(r_k)\vec r_k}\over{\sum_k m_k g(r_k)}}

W polu grawitacyjnym jednorodnym wszystkie g(r_k) są równe, zatem wzór powyższy po skróceniu upraszcza się do postaci:

\vec r_0={{\sum_k m_k \vec r_k}\over{\sum_k m_k}}

Suma w mianowniku wyraża masę ciała zaś obliczony środek ciężkości jest w tym przypadku tożsamy ze środkiem masy.

Powyższa zależność dla ciał ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości \rho w przestrzeni za pomocą zależności:

\vec r_0={1 \over M} \int\limits_V \rho \vec r d V

w której M oznacza masę ciała, obliczaną jako całka z jego gęstości:

M=\int\limits_V \rho dV\,

a całkowanie zachodzi po całej objętości V ciała, przy czym:

  • \vec r_0 to wektor środka masy;
  • M to masa ciała;
  • V to objętość ciała;
  • \rho=\rho(x,y,z) to funkcja gęstości ciała

Jeżeli ciało zawiesić nieruchomo na nici, to środek ciężkości znajduje się na przedłużeniu nici.

Astronomia[edytuj | edytuj kod]

Dla układu Ziemia - Księżyc barycentrum znajduje się około 4600 km od środka Ziemi. Natomiast dla układu Słońce - Ziemia znajduje się ono około 450 km od środka Słońca. Układ Słońce - Jowisz ma barycentrum około 742 300 km od środka Słońca. W przypadku całego układu planetarnego nie ma stałego barycentrum ze względu na różne ułożenie planet wzg. siebie i Słońca.

Położenie barycentrum dwóch ciał można obliczyć ze wzoru:

r_1 = r_{\rm tot} {m_2 \over m_1 + m_2}

gdzie r1 to odległość ciała 1 od barycentrum, rtot to odległość między ciałami a m1 i m2 to masy ciał.

Dwa ciała o jednakowych masach krążące po orbitach eliptycznych wokół wspólnego barycentrum (układ potencjalnie niestabilny).


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]