Zbiór jednoelementowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór jednoelementowy, zbiór jednostkowy, singletonzbiór, do którego należy dokładnie jeden element. Zbiór zawierający wyłącznie element oznacza się zwykle ; można go scharakteryzować w następujący sposób[1]:

Własności[edytuj]

Zbiory jednoelementowe mają następujące kluczowe własności:

powyższe równoważności można także zapisać jako:

Ponadto każdy zbiór jest sumą zbiorów jednoelementowych zawierających jego elementy:

.

Zachodzi także[2]

Przykłady[edytuj]

Teoria mnogości
Elementem zbioru jednoelementowego może być dowolny obiekt – również inny zbiór. Zbiór jednoelementowy jest zawsze czymś innym niż element, który zawiera:
  • Zbiór zawiera wszystkie liczby naturalne, a to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór liczb naturalnych.
  • Podobnie jest zbiorem pustym, tzn. nie zawierającym żadnego elementu: natomiast zbiór jest zbiorem jednoelementowym, którego jedyny element jest zbiorem pustym. W szczególności Podobnie oraz Obserwacja ta umożliwia „tworzenie czegoś z niczego” (łac. creatio ex nihilo), tzn. ze zbioru pustego. Wychodząc z podobnych idei John von Neumann zbudował swoją teorię liczb naturalnych[3][4].
Zbiór wszystkich podzbiorów (tzw. zbiór potęgowy) zbioru jest sumą zbiorów jednoelementowych będących podzbiorami zbioru :
,
co można także zapisać w postaci
Zbiór jednoelementowy występuje w sformułowaniu aksjomatu nieskończoności w aksjomatyce Zermela-Fraenkla teorii mnogości; ponadto pełni on ważną rolę w definicji Kazimierza Kuratowskiego pary uporządkowanej:
[5].
Topologia
W każdym zbiorze jednoelementowym można zdefiniować topologię, w której każdy podzbiór jest otwarty – rodzina zbiorów otwartych jest wtedy dwuelementowa i zawiera zbiór pusty oraz cały zbiór jednoelementowy. Tak zdefiniowana przestrzeń topologiczna jest jednocześnie dyskretna (wszystkie podzbiory są otwarte) i antydyskretna (tylko niezbędne podzbiory są otwarte). Jest także przestrzenią T1, bo jedyny podzbiór jednoelementowy jest domknięty[6]. Jest wreszcie w sposób trywialny przestrzenią T0.
Teoria kategorii
W niektórych kategoriach, na przykład w kategorii zbiorów , obiekty końcowe są zbiorami jednoelementowymi[7].

Przypisy

  1. Jerzy Słupecki, Ludwik Borkowski: Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1984, s. 140, 141. ISBN 83-01-05028-4.
  2. Клини Д. Л.: Общая топология. Москва: Наука, 1968, s. 16. (ros.)
  3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1978, s. 99–107.
  4. John von Neumann. Zur Einführung der transfiniten Zahlen. „Acta Litt. Ac. Sci. Hung. Fran. Joseph”. 1, s. 199–208, 1923 (niem.). 
  5. Kazimierz Kuratowski. Sur la notion de ľordre dans la théorie des ensembles. „Fundamenta Mathematicae”. 2, s. 161–171, 1921 (fr.). 
  6. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1978, s. 365.
  7. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 61, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.