Zbiór jednoelementowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór jednoelementowy, zbiór jednostkowy, singletonzbiór, do którego należy dokładnie jeden element. Zbiór zawierający wyłącznie element oznacza się zwykle ; można go scharakteryzować w następujący sposób[1]:

Własności[edytuj]

Zbiory jednoelementowe mają następujące kluczowe własności:

powyższe równoważności można także zapisać jako:

Ponadto każdy zbiór jest sumą zbiorów jednoelementowych zawierających jego elementy:

.

Zachodzi także[2]

Przykłady[edytuj]

Teoria mnogości
Elementem zbioru jednoelementowego może być dowolny obiekt – również inny zbiór. Zbiór jednoelementowy jest zawsze czymś innym niż element, który zawiera:
  • Zbiór zawiera wszystkie liczby naturalne, a to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór liczb naturalnych.
  • Podobnie jest zbiorem pustym, tzn. nie zawierającym żadnego elementu: natomiast zbiór jest zbiorem jednoelementowym, którego jedyny element jest zbiorem pustym. W szczególności Podobnie oraz Obserwacja ta umożliwia „tworzenie czegoś z niczego” (łac. creatio ex nihilo), tzn. ze zbioru pustego. Wychodząc z podobnych idei John von Neumann zbudował swoją teorię liczb naturalnych[3][4].
Zbiór wszystkich podzbiorów (tzw. zbiór potęgowy) zbioru jest sumą zbiorów jednoelementowych będących podzbiorami zbioru :
,
co można także zapisać w postaci
Zbiór jednoelementowy występuje w sformułowaniu aksjomatu nieskończoności w aksjomatyce Zermelo-Fraenkla teorii mnogości; ponadto pełni on ważną rolę w definicji Kazimierza Kuratowskiego pary uporządkowanej:
[5].
Topologia
W każdym zbiorze jednoelementowym można zdefiniować topologię, w której każdy podzbiór jest otwarty – rodzina zbiorów otwartych jest wtedy dwuelementowa i zawiera zbiór pusty oraz cały zbiór jednoelementowy. Tak zdefiniowana przestrzeń topologiczna jest jednocześnie dyskretna (wszystkie podzbiory są otwarte) i antydyskretna (tylko niezbędne podzbiory są otwarte). Jest także przestrzenią T1, bo jedyny podzbiór jednoelementowy jest domknięty[6]. Jest wreszcie w sposób trywialny przestrzenią T0.
Teoria kategorii
W niektórych kategoriach, np. w kategorii zbiorów , obiekty końcowe są zbiorami jednoelementowymi[7].

Przypisy

  1. Jerzy Słupecki, Ludwik Borkowski: Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1984, s. 140, 141. ISBN 83-01-05028-4.
  2. Клини Д. Л.: Общая топология. Москва: Наука, 1968, s. 16. (ros.)
  3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1978, s. 99-107.
  4. John von Neumann. Zur Einführung der transfiniten Zahlen. „Acta Litt. Ac. Sci. Hung. Fran. Joseph”. 1, s. 199-208, 1923 (niem.). 
  5. Kuratowski Kazimierz. Sur la notion de ľordre dans la théorie des ensembles. „Fundamenta Mathematicae”. 2, s. 161-171, 1921 (fr.). 
  6. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1978, s. 365.
  7. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 61, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.