Zbiór jednoelementowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór jednoelementowy – w teorii mnogości zbiór, do którego należy jeden i tylko jeden element; czasami nazywany jest zbiorem jednostkowym lub singletonem. Zbiór zawierający wyłącznie element y oznacza się zwykle {y}; można go scharateryzować w następujący sposób[1]:

x \in \{ y \} \ \Leftrightarrow x = y.

Zbiory jednoelementowe mają następujące dwie kluczowe własności:

\{a\} \cap \{b\} = \varnothing \Leftrightarrow a \neq b \Leftrightarrow \{a\} \neq \{b\}

oraz

\{a\} = \{b\} \Leftrightarrow a = b

Ponadto każdy zbiór jest sumą zbiorów jednoelementowych zawierających jego elementy:

A = \bigcup\limits_{x \in A} \{x\}.

Zbiór jednoelementowy występuje w sformułowaniu aksjomatu nieskończoności w aksjomatyce Zermelo-Fraenkla teorii mnogości.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Elementem zbioru jednoelementowego może być dowolny obiekt – również inny zbiór. Zbiór jednoelementowy jest zawsze czym innym niż element, który zawiera:

  • Zbiór \mathbb N zawiera wszystkie liczby naturalne, a \{\mathbb N\} to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór liczb naturalnych.
  • Podobnie \varnothing jest zbiorem pustym, tzn. nie zawierającym żadnego elementu: \forall x\colon x \not \in \varnothing, natomiast zbiór \{\varnothing\} jest zbiorem jednoelementowym, którego jedyny element jest zbiorem pustym. W szczególności \{\varnothing\} \neq \varnothing. Podobnie \bigl\{\{\varnothing\}\bigr\} \neq \varnothing oraz \bigl\{\{\varnothing\}\bigr\} \neq \{\varnothing\}. Obserwacja ta umożliwia „tworzenie czegoś z niczego” (łac. creatio ex nihilo), tzn. ze zbioru pustego; wychodząc z podobnych idei John von Neumann zbudował swoją teorię liczb naturalnych[2][3].

Zachodzi[4]

x \in X \Leftrightarrow \{x\} \subset X.

Zbiór 2^X wszystkich podzbiorów zbioru X jest sumą zbiorów jednoelementowych będących podzbiorami zbioru X:

2^X = \bigcup\limits_{Y \subset X} \{Y \},

co można także zapisać w postaci

Y \in 2^X \Leftrightarrow Y \subset X

Zbiór jednoelementowy odgrywa ważną rolę w definicji Kazimierza Kuratowskiego pary uporządkowanej:

 \langle a, b\rangle = \{ \{a \}, \{ a, b \} \}[5].

W topologii przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią T1 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x \in X zbiór {x} jest domknięty[6]. Każdy zbiór jednoelementowy {x} może zostać przekształcony w przestrzeń topologiczną, w której każdy podzbiór jest otwarty. Rodzina zbiorów otwartych jest wtedy dwuelementowa i zawiera zbiór pusty oraz {x}.

W niektórych kategoriach, np. w kategorii zbiorów Set, obiekty końcowe są zbiorami jednoelementowymi[7].

Przypisy

  1. Jerzy Słupecki, Ludwik Borkowski: Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1984, s. 140, 141. ISBN 83-01-05028-4.
  2. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1978, s. 99-107.
  3. John von Neumann. Zur Einführung der transfiniten Zahlen. „Acta Litt. Ac. Sci. Hung. Fran. Joseph”. 1, s. 199-208, 1923 (niem.). 
  4. Клини Д. Л.: Общая топология. Москва: Наука, 1968, s. 16. (ros.)
  5. Kuratowski Kazimierz. Sur la notion de ľordre dans la théorie des ensembles. „Fundamenta Mathematicae”. 2, s. 161-171, 1921 (fr.). 
  6. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1978, s. 365.
  7. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1978, s. 61.