Aproksymacja liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt (a, f(a))

Aproksymacja liniowa funkcji – przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.

Interpolacja liniowa[edytuj]

 Osobny artykuł: Interpolacja liniowa.

Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa, w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.

Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora[edytuj]

Dla danej funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla można napisać:

,

gdzie jest tzw. resztą Peana, spełniającą warunek:

Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:

i przybliżenie to jest tym lepsze, im jest bliższe . Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie o współrzędnych .

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład, jeżeli jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych, otrzymujemy wzór:

.

Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji w punkcie o współrzędnych

Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:

,

gdzie jest pochodną Frecheta funkcji dla .

Przykład[edytuj]

Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości .

  1. Rozważana jest funkcja . Problem polega na obliczeniu przybliżonej wartości funkcji .
  2. Jest
    .
  3. Korzystając z aproksymacji liniowej:
  4. Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…