Zasadnicze twierdzenie algebry

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebrytwierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego zespolonych pierwiastków. Jest to równoważne temu, iż każdy wielomian zespolony stopnia n>0 można przedstawić w postaci iloczynu

a(z-z_1)(z-z_2) \dots (z-z_n)

dla pewnych a, z_1, \ldots, z_n\in \mathbb{C}.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia n może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej n. Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w \pm\infty są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian - jako funkcja ciągła, ma własność Darboux - a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

Historia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie zostało udowodnione w 1799 r. przez Gaussa, który podał później kilkanaście innych dowodów tego twierdzenia. Przed Gaussem co najmniej sześciu innych matematyków podało dowody Zasadniczego twierdzenia algebry. W kolejności ukazywania się, dowody były podawane przez d'Alemberta, Eulera, Foncenexa, Lagrange'a, Laplace'a i Wooda. Były one jednak niekompletne, lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane.

Nazwa[edytuj | edytuj kod]

Określenie „zasadnicze (lub podstawowe) twierdzenie algebry” wydaje się dziś nieco przesadzone, powstało ono jednak w czasach, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków.

O dowodach[edytuj | edytuj kod]

Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na "algebraiczne" i "analityczne" (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły "bardziej algebraiczne" dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w "najbardziej algebraicznych" dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie "zupełnie algebraiczny". Twierdzenia analizy zespolonej takie, jak twierdzenie Liouville'a czy twierdzenie Rouché'go, znacznie upraszczają dowód Zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:

f(a)=\min\{f(x)\colon\, x\in X\}
oraz
f(b)=\max\{f(x)\colon\, x\in X\}.

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville'a[edytuj | edytuj kod]

Niech f będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian f nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville'a wynika, że funkcja f jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego M > 0 istnieje takie R > 0, że w zewnętrzu okręgu |z| = R (inaczej mówiąc, dla |z| > R) spełniona jest nierówność |f(z)| > M). Niech M i R będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian f nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. f(z) ≠ 0 dla każdej liczby zespolonej z. Wówczas funkcja g dana wzorem

g(z)=\frac{1}{f(z)}

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla |z| > R zachodzi nierówność

|g(z)|<\frac{1}{M},

ponieważ |f(z)| > M dla |z| > R.

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji f w kole |z| ≤ R. Rozważmy funkcję

z\mapsto |f(z)|,

która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte |z| ≤ R jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element z0, że

|f(z_0)|=\min\{|f(z)|\colon |z|\leqslant R\}>0.

Wynika stąd, że

|g(z)|\leqslant\frac{1}{|f(z_0)|}.

Możemy, tym samym, oszacować funkcję g na całej płaszczyźnie:

|g(z)|\leqslant\max\left\{\frac{1}{M},\ \frac{1}{|f(z_0)|}\right\}.

Wówczas z twierdzenia Liouville'a wynika, że g jest stała, ale wtedy

f(z)=\frac{1}{g(z)}

też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian f ma pierwiastek zespolony. □

Przykład innego dowodu[edytuj | edytuj kod]

Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego

v(x)=a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n,\; a_0 \ne 0,\; a_n \ne 0,\; n \geqslant 1

istnieje taka liczba zespolona x0, że

|v(x_0)|=0.

Lemat 1[edytuj | edytuj kod]

Jeśli v jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

(\exist{r>0})(\forall{x \in \mathbb C})( |x|>r \Rightarrow |v(x)|>|v(0)|=|a_0|)

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech

v(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n.

Wówczas

\begin{array}{lcl}|v(x)| &=& |x|^n |a_n + a_{n-1}(\tfrac{1}{x}) + \dots + a_1(\tfrac{1}{x})^{n-1} + a_0(\tfrac{1}{x})^n|\\
& =& |x|^n|a_n + w(x)|\end{array},

gdzie

w(y) = a_{n-1}y + \dots + a_0y^n.

Z ciągłości funkcji wielomianowej w oraz faktu, że w(0) = 0, dla pewnego R > 0 spełniony jest warunek

|w(y)| < \frac{|a_n|}{2}

o ile tylko |y| < R. Stąd, jeśli

\frac{1}{|y|} > \frac{1}{R},

to

\left|w\left(\tfrac{1}{y}\right)\right|>\tfrac{|a_n|}{2}.

Podstawiając y = 1/x, dostajemy

|w(x)|>\tfrac{|a_n|}{2}

dla wszystkich |x| > 1/R.

Ostatecznie:

\begin{array}{lcl}|v(x)| &=& |x|^n|a_n + a_{n-1}(\tfrac{1}{x}) + \dots + a_1(\tfrac{1}{x})^{n-1} + a_0(\tfrac{1}{x})^n| \\
&\geqslant &|x|^n(|a_n| - |a_{n-1}(\tfrac{1}{x}) + \dots + a_1(\tfrac{1}{x})^{n-1} + a_0(\tfrac{1}{x})^n|)\\
& \geqslant& \frac{|a_n|}{2}|x|^n\end{array},

oraz

\frac{|a_n|}{2}|x|^n > |a_0|,

gdy

|x| > \sqrt[n]{\tfrac{2|a_0|}{|a_n|}}.

Istnieje więc takie r > 0, że teza lematu jest spełniona, mianowicie

r = \max\left\{\frac{1}{R}, \sqrt[n]{\tfrac{2|a_0|}{|a_n|}}\right\}.

Lemat Cauchy'ego[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego wielomianu v o współczynnikch zespolonych, dla którego v(0) ≠ 0, istnieje taka liczba r > 0, że minimum funkcji |v(x)| jest osiągnięte w kole |x| ≤ r.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech

v(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n,

przy czym a0 ≠ 0. Niech ponadto

r = \max\left\{\frac{1}{R}, \sqrt[n]{\tfrac{2|a_0|}{|a_n|}}\right\}.

Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem |x| ≤ r spełniona jest nierówność |v(x)| > |a0|. Ponieważ koło |x| ≤ r jest zbiorem zwartym, funkcja |v(x)| przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego x0 spełniającego |x0| ≤ r. W szczególności, |v(x0)| > |a0|. Zatem x0 jest również minimum globalnym funkcji |v(x)|.

Lemat 2[edytuj | edytuj kod]

Niech p będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek p(0) ≠ 0 oraz niech k będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej a istnieje taka liczba zespolona b, że

\left|a + b^kp(b)\right|<|a|.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech p i k będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej p wynika, iż istnieje takie δ>0, że

\left|p(x) - p(0)\right| < \tfrac{|p(0)|}{2}

o ile |x| < δ. Niech a będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas

\begin{array}{lcl}\left|a + x^kp(x)\right| &\leqslant& \left|a +  x^kp(0)\right| + |x|^k\left|p(x) - p(0)\right| \\
&\leqslant &\left|a + x^kp(0)\right| +\frac{|x|^k\left|p(0)\right|}{2}.\end{array}

Niech b \in \mathbb C, wówczas

p(0)b^k = -ta dla 0 < t < 1.

Dla każdego t>0 istnieje b, które spełnia powyższą równość.

\left|a + p(0)b^k\right| = |a - ta| = (1-t)|a|
\frac{|p(0)||b|^k}{2} = \frac{t|a|}{2}

Jeżeli b jest takie, że |b|<\delta to:

\left|a + b^kp(b)\right| \leqslant (1-t)|a| + \tfrac{t|a|}{2} = (1 - \tfrac{t}{2})|a| < |a| i twierdzenie zachodzi, ale żeby było |b|<\delta, to musi być |b|^k < \delta^k, czyli:
|p(0)||b|^k = t|a| < |p(0)||\delta|^k \implies t < \frac{|p(0)|\delta^k}{|a|}.

Lemat d'Alemberta-Arganda[1][2][edytuj | edytuj kod]

Niech v będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek v(0) = a0 ≠ 0. Dla każdej liczby zespolonej x0, dla której |v(x0)|>0, istnieje taka liczba y0, że

|v(y_0)|<|v(x_0)|.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

v(x+x_0) = a_0 + a_1(x+x_0) + \dots + a_n(x+x_0)^n = a_0 + a_1x_0 + \dots + a_nx_0^n + x^kw(x) = v(x_0) + x^kw(x),

przy czym w(0) ≠ 0. Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona b, iż

 \left|v(x_0) + b^kw(b)\right| < \left|v(x_0)\right|,

czyli

\left|v(x_0 + b)\right| < \left|v(x_0)\right|.

Przyjmując y0 = b + x0, otrzymuje się tezę.

Dowód Zasadniczego twierdzenia algebry[edytuj | edytuj kod]

Z lematu Cauchy'ego i d'Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że v \in \mathbb C[x] i nie istnieje takie x \in \mathbb C, że \left|v(x)\right|=0. Wówczas z lematu Cauchy'ego wiemy, że istnieje taki promień r, że minimum globalne \left|v(x)\right| jest przyjęte w kole \{x\colon |x| \leqslant r \} dla pewnego x_0. Ale założyliśmy, że |v(x)| jest zawsze większe od 0, a wtedy z lematu d'Alemberta-Arganda wynika, że istnieje y_0 \in \mathbb C takie, że \left|v(y_0)\right| < \left|v(x_0)\right|, co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie x_0 funkcja \left|v(x)\right| przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być |v(x_0)| = 0.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. J.R. d'Alembert, Recherches sur le calcul intégral, The Histoire de l'Académie des Sciences et des Belles-Lettres (1746) 182-192.
  2. J.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 5 (1814-1815), 197-209.

Źródła historyczne[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]