Zasadnicze twierdzenie algebry

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebrytwierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):

Twierdzenie[edytuj]

Stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego zespolonych pierwiastków. Jest to równoważne temu, iż każdy wielomian zespolony stopnia można przedstawić w postaci iloczynu

dla pewnych .

Uwaga[edytuj]

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej . Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła, ma własność Darboux - a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

Historia[edytuj]

Twierdzenie zostało udowodnione w 1799 r. przez Gaussa, który podał później kilkanaście innych dowodów tego twierdzenia. Przed Gaussem co najmniej sześciu innych matematyków podało dowody Zasadniczego twierdzenia algebry. W kolejności ukazywania się, dowody były podawane przez d’Alemberta, Eulera, Foncenexa, Lagrange’a, Laplace’a i Wooda. Były one jednak niekompletne, lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. Trzeba zauważyć, że dowód Gaussa również zawierał lukę, chociaż bardziej subtelną.[1]

Nazwa[edytuj]

Określenie „zasadnicze (lub podstawowe) twierdzenie algebry” wydaje się dziś nieco przesadzone, powstało ono jednak w czasach, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków.

O dowodach[edytuj]

Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie, jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouché'go, znacznie upraszczają dowód Zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:

oraz
.

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a[edytuj]

Niech f będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian f nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja f jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego M > 0 istnieje takie R > 0, że w zewnętrzu okręgu |z| = R (inaczej mówiąc, dla |z| > R) spełniona jest nierówność |f(z)| > M). Niech M i R będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian f nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. f(z) ≠ 0 dla każdej liczby zespolonej z. Wówczas funkcja g dana wzorem

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla |z| > R zachodzi nierówność

,

ponieważ |f(z)| > M dla |z| > R.

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji f w kole |z| ≤ R. Rozważmy funkcję

,

która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte |z| ≤ R jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element z0, że

.

Wynika stąd, że

.

Możemy, tym samym, oszacować funkcję g na całej płaszczyźnie:

.

Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że g jest stała, ale wtedy

też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian f ma pierwiastek zespolony. □

Przykład innego dowodu[edytuj]

Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego

istnieje taka liczba zespolona x0, że

.

Lemat 1[edytuj]

Jeśli v jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

Dowód[edytuj]

Niech

.

Wówczas

,

gdzie

.

Z ciągłości funkcji wielomianowej w oraz faktu, że w(0) = 0, dla pewnego R > 0 spełniony jest warunek

o ile tylko |y| < R. Stąd, jeśli

,

to

.

Podstawiając y = 1/x, dostajemy

dla wszystkich |x| > 1/R.

Ostatecznie:

,

oraz

,

gdy

.

Istnieje więc takie r > 0, że teza lematu jest spełniona, mianowicie

.

Lemat Cauchy’ego[edytuj]

Dla każdego wielomianu v o współczynnikch zespolonych, dla którego v(0) ≠ 0, istnieje taka liczba r > 0, że minimum funkcji |v(x)| jest osiągnięte w kole |x| ≤ r.

Dowód[edytuj]

Niech

przy czym a0 ≠ 0. Niech ponadto

Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem |x| ≤ r spełniona jest nierówność |v(x)| > |a0|. Ponieważ koło |x| ≤ r jest zbiorem zwartym, funkcja |v(x)| przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego x0 spełniającego |x0| ≤ r. W szczególności, |v(x0)| > |a0|. Zatem x0 jest również minimum globalnym funkcji |v(x)|.

Lemat 2[edytuj]

Niech p będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek p(0) ≠ 0 oraz niech k będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej a istnieje taka liczba zespolona b, że

Dowód[edytuj]

Niech p i k będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej p wynika, iż istnieje takie δ>0, że

o ile |x| < δ. Niech a będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas

Niech , wówczas

dla .

Dla każdego istnieje , które spełnia powyższą równość.

Jeżeli jest takie, że to:

i twierdzenie zachodzi, ale żeby było , to musi być , czyli:
.

Lemat d’Alemberta-Arganda[2][3][edytuj]

Niech v będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek v(0) = a0 ≠ 0. Dla każdej liczby zespolonej x0, dla której |v(x0)|>0, istnieje taka liczba y0, że

.

Dowód[edytuj]

,

przy czym w(0) ≠ 0. Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona b, iż

,

czyli

.

Przyjmując y0 = b + x0, otrzymuje się tezę.

Dowód Zasadniczego twierdzenia algebry[edytuj]

Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że i nie istnieje takie , że . Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień , że minimum globalne jest przyjęte w kole dla pewnego . Ale założyliśmy, że jest zawsze większe od , a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje takie, że , co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie funkcja przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być .

Bibliografia[edytuj]

Przypisy

  1. Fund theorem of algebra, www-groups.dcs.st-and.ac.uk [dostęp 2016-04-04].
  2. J.R. d’Alembert, Recherches sur le calcul intégral, The Histoire de l'Académie des Sciences et des Belles-Lettres (1746) 182-192.
  3. J.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 5 (1814-1815), 197-209.

Źródła historyczne[edytuj]

Zobacz też[edytuj]