Zasadnicze twierdzenie algebry

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebrytwierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego zespolonych pierwiastków. Jest to równoważne temu, iż każdy wielomian zespolony stopnia można przedstawić w postaci iloczynu

dla pewnych .

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej . Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

Historia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie zostało udowodnione w 1799 r. przez Gaussa, który podał później kilkanaście innych dowodów tego twierdzenia. Przed Gaussem co najmniej sześciu innych matematyków podało dowody zasadniczego twierdzenia algebry. W kolejności ukazywania się, dowody były podawane przez d’Alemberta, Eulera, Foncenexa, Lagrange’a, Laplace’a i Wooda. Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. Trzeba zauważyć, że dowód Gaussa również zawierał lukę, chociaż bardziej subtelną[1].

Nazwa[edytuj | edytuj kod]

Określenie „zasadnicze (lub podstawowe) twierdzenie algebry” wydaje się dziś nieco przesadzone, powstało ono jednak w czasach, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków.

O dowodach[edytuj | edytuj kod]

Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie, jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouché'go, znacznie upraszczają dowód zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:

  • funkcje wielomianoweciągłe (na płaszczyźnie zespolonej);
  • twierdzenie Weierstrassa: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli jest przestrzenią zwartą, a jest rzeczywistą funkcją ciągłą na , to istnieją takie punkty , że
oraz
.

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego istnieje takie , że w zewnętrzu okręgu (inaczej mówiąc, dla ) spełniona jest nierówność ). Niech i będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. dla każdej liczby zespolonej . Wówczas funkcja dana wzorem:

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla zachodzi nierówność:

,

ponieważ dla .

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji w kole . Rozważmy funkcję

,

która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element , że:

.

Wynika stąd, że:

.

Możemy tym samym oszacować funkcję na całej płaszczyźnie:

.

Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że jest stała, ale wtedy:

też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian ma pierwiastek zespolony.

Przykład innego dowodu[edytuj | edytuj kod]

Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego

istnieje taka liczba zespolona , że

.

Lemat 1[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech

.

Wówczas

,

gdzie

.

Z ciągłości funkcji wielomianowej oraz faktu, że , dla pewnego spełniony jest warunek

o ile tylko . Stąd, jeśli

,

to

.

Podstawiając , dostajemy

dla wszystkich .

Ostatecznie:

,

oraz

,

gdy

.

Istnieje więc takie , że teza lematu jest spełniona, mianowicie:

.

Lemat Cauchy’ego[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego wielomianu o współczynnikach zespolonych, dla którego , istnieje taka liczba , że minimum funkcji jest osiągnięte w kole .

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech

przy czym . Niech ponadto

Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem spełniona jest nierówność . Ponieważ koło jest zbiorem zwartym, funkcja przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego spełniającego . W szczególności, . Zatem jest również minimum globalnym funkcji .

Lemat 2[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek oraz niech będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej istnieje taka liczba zespolona , że

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej wynika, iż istnieje takie , że

o ile . Niech będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas

Niech , wówczas

dla .

Dla każdego istnieje , które spełnia powyższą równość.

Jeżeli jest takie, że to:

i twierdzenie zachodzi, ale żeby było , to musi być , czyli:
.

Lemat d’Alemberta-Arganda[2][3][edytuj | edytuj kod]

Niech będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek . Dla każdej liczby zespolonej , dla której , istnieje taka liczba , że

.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

,

przy czym . Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona , iż

,

czyli

.

Przyjmując , otrzymuje się tezę.

Dowód zasadniczego twierdzenia algebry[edytuj | edytuj kod]

Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że i nie istnieje takie , że . Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień , że minimum globalne jest przyjęte w kole dla pewnego . Założyliśmy jednak, że jest zawsze większe od , a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje takie, że , co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie funkcja przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Fund theorem of algebra, www-groups.dcs.st-and.ac.uk [dostęp 2016-04-04].
  2. J.R. d’Alembert, Recherches sur le calcul intégral, The Histoire de l'Académie des Sciences et des Belles-Lettres (1746) 182-192.
  3. J.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 5 (1814-1815), 197-209.

Źródła historyczne[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]