Ciało rozkładu wielomianu

Wielomian $x^{2}+1$ nie ma pierwiastków w ciele liczb rzeczywistych. Ciało rozkładu tego wielomianu otrzymuje się, rozszerzając wyjściowe ciało o jednostkę urojoną $i,$ ukazaną powyżej na płaszczyźnie zespolonej

Ciało rozkładu wielomianu – w teorii ciał rozszerzenie ciała o wszystkie pierwiastki pewnego wielomianu.

Definicja

Dla danego ciała $K$ i dla wielomianu $f$ dodatniego stopnia o współczynnikach z tego ciała (a więc należącego do pierścienia wielomianów tego ciała, $f\in K[x]$), który rozkłada się w większym ciele $L$ na iloczyn wielomianów liniowych $f=a_{0}\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i})$ ciałem rozkładu tegoż wielomianu jest ciało powstałe przez rozszerzenie wyjściowego ciała $K$ o wszystkie pierwiastki tegoż wielomianu $a_{i},$ to znaczy $K(a_{1},a_{2},...,a_{n}).$ Tak skonstruowane ciało rozkładu wielomianu $f$ jest podciałem $L{:}$ $K(a_{1},a_{2},...,a_{n})\subset L$.

Istnienie

Parabola będąca wykresem wielomian $f(x)=x^{2}-2x+5.$ Wykres nie przecina osi $0x,$ więc dla żadnej liczby rzeczywistej wielomian nie przyjmuje wartości $0$ – nie ma on pierwiastków w ciele liczb rzeczywistych i nie można go w nim rozłożyć na składowe. Można go natomiast rozłożyć w ciele liczb zespolonych stanowiących rozszerzenie liczb rzeczywistych, wtedy pierwiastkami są $x=1\pm 2i.$

Dyskusję ciał rozkładu wielomianu Jerzy Browkin zaczyna od rozważenia istnienia takich ciał w ogóle. Mianowicie powyższa definicja wymaga rozkładu rozpatrywanego wielomianu na wielomiany liniowe. Dowieść można, że każdy wielomian $f$ dodatniego stopnia należący do pierścienia wielomianów danego ciała $K[x]$ nierozkładalny w tym ciele można jednak rozłożyć na iloczyn wielomianów liniowych (a więc postaci $ax+b$) w innym ciele $L$ będącym rozszerzeniem ciała wyjściowego $K.$ By tego dowieźć, dowodzi się wpierw lematu stanowiącego, że dla każdego wielomianu $f\in K[x]$ dodatniego stopnia istnieje rozszerzenie $L$ ciała $K$ takie, że wielomian $f$ ma w tym ciele pierwiastek. A więc $\forall f\in K[x]stf>0\Rightarrow \exists L(K\subset L\land \exists a\in Lf(a)=0)$.

Wielomian $f$ może być rozkładalny bądź nierozkładalny w ciele $K.$ Jeśli jest rozkładalny, to da się rozłożyć na wielomiany nierozkładalne. Każdy pierwiastek dowolnego z tych wielomianów nierozkładalnych stanowi już pierwiastek wielomianu $f.$ Tak więc w obu przypadkach dalsze rozumowanie sprowadza się do rozpatrzenia przypadku wielomianu nierozkładalnego. W pierścieniu wielomianów $K[x]$ wielomian $f$ tworzy ideał $I,$ który można oznaczyć także $(f).$ W przypadku wielomianu nierozkładalnego ideał ten będzie maksymalny (oznacza to, że ideał nie jest równy samemu pierścieniowi, do którego należy, w tym wypadku $K[x],$, ale nie zawiera się w żadnym innym ideale niż sobie samym i samym pierścieniu). Dowodzi się, że pierścień ilorazowy utworzony przez podzielenie dowolnego wyjściowego pierścienia przez dowolny jego ideał maksymalny jest ciałem. Wobec tego także pierścień ilorazowy $K[x]/I$ powstały z podzielenia pierścienia wielomianów $K[x]$ przez jego ideał maksymalny $I$ będzie ciałem. Przyjąć można na jego oznaczenie $L=K[x]/I.$ Co więcej, będzie on zawierał podciało izomorficzne z wyjściowym ciałem $K.$ Należy dalej rozpatrzeć element $a=x+I$ wzięty z $K[x]/I.$ Po podstawieniu $a$ do wielomianu $f$ otrzymuje się $f(a)=f(x+I)=f(x)+I,$ to ostatnie zaś należy do ideału generowanego przez $f.$ Tak więc otrzymuje się tu element zerowy ciała $L,$ element ten stanowi wobec powyższego pierwiastek wielomianu $f$.

Idąc dalej tym samym tokiem myślenia, poprzez indukcję ze względu na stopień $f$ dochodzi się do wniosku, że istnieć musi takie rozszerzenie $K,$ które zawiera nie jeden, ale wszystkie pierwiastki $f.$ W takim wypadku wielomian $f$ rozłożyłby się w tym ciele na iloczyn wielomianów liniowych z tego ciała $f=a_{0}\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i}).$ Mianowicie jako założenie indukcyjne wziąć należy, że jest tak dla wielomianów stopnia mniejszego od n. Dla wielomianów pierwszego stopnia teza ta jest już dowiedziona (mają bowiem jeden jedyny pierwiastek). Z powyższych rozważań wynika, że dla wielomianu $f\in K[x]$ o stopniu $n$ istnieje rozszerzenie $L$ ciała $K$ obejmujące pierwiastek $a$ tegoż wielomianu. Skoro tak, to w ciele $L$ wielomian $f$ rozłożyć można przynajmniej na 2 czynniki: $f(x)=(x-a)g(x),$ przy czym $g\in L[x].$ Jak widać, pierwszy z nich jest wielomianem liniowym, drugi natomiast jest wielomianem stopnia mniejszego od $n,$ co podpada po założenie indukcyjne. Stanowi ono, że ciało $L$ (z tego bowiem ciała wzięto wielomian $g$) ma rozszerzenie, można je oznaczyć $M,$ takie, że wielomian $g$ stopnia poniżej $n$ da się w nim rozłożyć na wielomiany liniowe. Ale także $a\in L,$ a więc i $a\in M,$ co oznacza, że wielomian liniowy $x-a\in M[x].$ Oba czynniki wielomianu $f$ należą do $M[x],$ co oznacza, że wielomian $f$ da się rozłożyć na czynniki liniowe, z których każdy należy do $M[x].$ Dowodzi to, że dla każdego wielomianu dodatniego stopnia z danego ciała ciało to ma rozszerzenie, w którym da się ów wielomian rozłożyć na czynniki liniowe.

Oznacza to, że w przypadku dowolnego wielomianu $f$ dodatniego stopnia z pierścienia wielomianów dowolnego wyjściowego ciała $K$ istnieje rozszerzenie $K$ zawierające wszystkie jego pierwiastki. Rozszerzenie $K$ o te pierwiastki nazywa się właśnie ciałem rozkładu wielomianu $f$.

Należy jeszcze rozpatrzyć przypadek, kiedy to wielomian $f$ nie jest dodatniego, ale zerowego stopnia. Wielomian taki nie ma pierwiastków nienależących do ciała $K,$ wobec tego już samo $K$ stanowi ciało jego rozkładu.

Jedyność

Po udowodnieniu istnienia ciał rozkładu wielomianu rozważa się następnie jedyność takich ciał. Oczywiście ciało rozkładu wielomianu $f$ zależy nie tylko od postaci tegoż wielomianu, a więc od jego pierwiastków, przy których się on zeruje, ale również od wyjściowego ciała $K,$ z którego wzięte zostały współczynniki $f.$ Pojawia się jednak pytanie, czy po ustaleniu tego ciała $K$ może ono mieć kilka różnych rozszerzeń będących ciałami rozkładu $f,$ czy też może istnieć tylko jedno jedyne takie ciało.

Rozważania na ten temat opierają się na badaniu rozszerzeń izomorfizmów. Okazuje się bowiem, że dowolny izomorfizm $\varphi$ dwóch ciał, np. $K_{1}$ i $K_{2},$ rozszerzyć można na izomorfizm ${\overline {\varphi }}$ ich pierścieni wielomianów. Jeśli więc $K_{1}\xrightarrow {\varphi } K_{2},$ to $K_{1}[x]\xrightarrow {\overline {\varphi }} K_{2}[x].$ Wziąć należy wielomian nierozkładalny $f_{1}$ z pierścienia $K[x]$ o pierwiastku $a_{1}$ należącym do rozszerzenia $L_{1}.$ Izomorfizm ${\overline {\varphi }}$ będzie przekształcał ten wielomian na wielomian $f_{2}={\overline {\varphi }}f_{1}.$ Jak wynika z powyższych rozważań, i ten wielomian będzie miał pierwiastek, oznaczany przez $a_{2}$ i należący do pewnego rozszerzenia $K,$ oznaczanego przez $L_{2}.$ Oznacza to w dalszym ciągu istnienie dwóch ciał powstałych przez rozszerzenie $K$ o rzeczone dwa pierwiastki, mianowicie $K(a_{1})$ i $K(a_{2}).$ Co więcej izomorfizm $\varphi$ rozszerzyć można do kolejnego izomorfizmu $\varphi '$ przekształcającego pierwsze z tych rozszerzeń w to drugie: $K(a_{1})\xrightarrow {\varphi '} K(a_{2}).$ Jako że izomorfizm zachowuje własności algebraiczne, przeto $f_{2}={\overline {\varphi }}f_{1}$ będzie w $K$ nierozkładalny. Dalej wziąć trzeba dwa $K_{1}$-izomorfizmy z pierścieni ilorazowych odpowiednich pierścieni wielomianów w odpowiednie rozszerzenia pojedyncze, mianowicie $\varphi _{1}$ przekształcające $K_{1}[x]/(f_{1})$ w $K_{1}(a_{1}),$ który dla $x+(f_{1})$ przyjmuje wartość $a_{1},$ oraz analogicznie $\varphi _{2}:K_{2}[x]/(f_{2})\to K_{2}(a_{2})$ taki, że $\varphi _{2}(x+(f_{2}))=a_{2}.$ Następnie z faktu, że $f_{2}={\overline {\varphi }}f_{1},$ wnosi się, że izomorfizmowi pierścieni wielomianów ${\overline {\varphi }}:K_{1}[x]\to K_{2}[x]$ odpowiada izomorfizm ich pierścieni ilorazowych $\varphi ^{\sim }:K_{1}[x]/(f_{1})\to K_{2}[x]/(f_{2}).$ Rzeczony izomorfizm $\varphi ^{\sim },$ stanowiąc rozszerzenie $\varphi ,$ po podstawieniu doń $x+(f_{1})$ daje $x+(f_{2}).$ W końcu izomorfizm $\varphi '$ zdefiniowany jako $\varphi '=\varphi _{2}\varphi ^{\sim }\varphi _{1}^{-}$ przekształca $K_{1}(a_{1})$ w $K_{2}(a_{2}).$ W szczególności, przy wzięciu za $K_{1}$ i $K_{2}$ wyjściowego ciała $K,$ przekształca on jego rozszerzenia pojedyncze $K(a_{1})\xrightarrow {\varphi '} K(a_{2}).$ Wysnuć stąd można wniosek, że skoro pierwiastki rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu $f$ można wzajemnie przekształcać w siebie izomorfizmami, pod względem właściwości algebraicznych nie różnią się one od siebie.

Następnie wykorzystuje się twierdzenie o rozszerzaniu izomorfizmu. Stanowi ono, że dla

• izomorfizmu $\varphi$ przekształcającego ciało $K_{1}$ w ciało $K_{2}$
• odpowiadającego mu izomorfizmu ${\overline {\varphi }}$ pierścieni wielomianów $K_{1}[x]$ w $K_{2}[x]$
• ciała $L_{1}$ rozkładu wielomianu $f_{1}$ z $K_{1}[x]$
• ciała $L_{2}$ rozkładu wielomianu $f_{2}$ z $K_{2}[x]$ otrzymywanego poprzez zadziałanie izomorfizmem ${\overline {\varphi }}$ na wielomian $f_{1}$

można rozszerzyć $\varphi$ do izomorfizmu $\psi ,$ który przekształcał będzie ciało $L_{1}$ w ciało $L_{2}$.

Browkin dowodzi tego twierdzenia, wykorzystując indukcję matematyczną po stopniu wielomianu $f.$ Mianowicie dla wielomianów stopnia zerowego ciała ich rozkładu są wyjściowymi ciałami, wobec czego szukanym izomorfizmem będzie po prostu wyjściowy izomorfizm $\varphi .$ Sytuacja komplikuje się, gdy w grę wchodzą wielomiany wyższego stopnia. Założenie indukcyjne przyjmować będzie, że twierdzenie zachodzi dla wielomianów stopnia mniejszego od $n,$ wyprowadzić je zaś należy dla tegoż właśnie stopnia. Przyjmując rozkład wielomianów $f_{1}=a_{0}\prod _{i=1}^{n}(x-a_{1})$ i analogicznie $f_{2}=b_{0}\prod _{i=1}^{n}(x-b_{1})$ (są tego samego stopnia, gdyż $f_{2}={\overline {\varphi }}f_{2}$), definiuje się $L_{1}$ jako $K_{1}$ rozszerzone o wszystkie $a_{i}$ od $1$ do $n$ z powyższego iloczynu, analogicznie definiuje się $L_{2}$ jako rozszerzenie $K_{2}$ o odpowiednie $b_{i}.$ Jednym z pierwiastków wielomianu $f_{1}$ jest $a_{1}.$ Wobec tego w rozkładzie $f_{1}$ występuje taki nierozkładalny wielomian $g_{1},$ że znika on dla $a_{1}.$ Poddając tenże wielomian $g_{1}$ działaniu wcześniej określonego izomorfizmu ${\overline {\varphi }}$ otrzymuje się wielomian $g_{2},$ także nierozkładalny, i z kolei występujący w rozkładzie wielomianu $f_{2}.$ Ma on wobec tego swój pierwiastek wśrod $b_{i}$ od $1$ do $n,$ pierwiastek ten można oznaczyć dowolnie, dla prostoty na przykład $b_{1}.$ Wtedy dzięki rozumowaniu przedstawionemu wcześniej wnosi się o istnieniu izomorfizmu $\varphi ',$ zdefiniowanego jak wyżej, a więc stanowiącego rozszerzenie wyjściowego izomorfizmu $\varphi$ i takiego, że $K_{1}(a_{1})\xrightarrow {\varphi '} K_{2}(b_{1}),$ a więc przyporządkowującemu pierwiastkowi $a_{i}$ pierwiastek $b_{i}.$ Pozwala to na rozłożenie wielomianów $f_{1}$ i $f_{2}$ na wielomian liniowy o pierwiastku $a_{1}$ czy $b_{1}$ oraz inny wielomian z pierścienia $K_{1}(a_{1})[x]$ czy $K_{2}(b_{1})[x]$ o stopniu mniejszym od $n$ (a więc do którego będzie się stosowało założenie indukcyjne), oznaczany na przykład odpowiednio $h_{1}$ i $h_{2}.$ Ponieważ $f_{1}$ jest izomorficzny do $f_{2}$ i jego czynnik $x-a_{1}$ jest izomorficzny do czynnika $x-b_{1}$ wielomianu $f_{2},$ izomorficzne są również występujące w obu rozkładach wielomiany $h_{1}$ i $h_{2}.$ Wobec tego ciało $L_{1}$ traktować można jako ciało $K_{1}(a_{1})$ rozszerzone następnie o wszystkie $a_{i}$ począwszy od $2$ aż do $n$ i tak samo ciało $L_{2}$ jako $(K_{2}(b_{1}))(b_{2},...,b_{n}).$ W obu przypadkach są to ciała rozkładu wielomianów $h_{i},$ a więc o stopniu od $n$ mniejszym. Dotyczy ich założenie indukcyjne, istnieje więc izomorfizm $\psi$ przekształcający pierwsze w drugie. Izomorficzne są też wyjściowe ciała $K_{1}(a_{i})$ i $K_{2}(b_{1}).$ Wynika z tego, że izomorficzne muszą być w końcu także $L_{1}$ i $L_{2}.$ Dowodzi to twierdzenia o rozszerzaniu izomorfizmu.

Nic jednak w powyższym rozumowaniu nie wskazuje, jakoby ciała $K_{1}$ i $K_{2}$ musiały różnić się od siebie. Wprost przeciwnie, muszą być one izomorficzne. Każde wszak ciało jest izomorficzne ze sobą samym. Podstawić do twierdzenia można więc dwukrotnie to samo wyjściowe ciało $K.$ Nie wymaga również rzeczone rozumowanie, by $f_{2}$ i $f_{1}$ nie były tym samym wielomianem. Przyjąć bowiem można, że wiążący je izomorfizm jest identycznością. Po wprowadzeniu powyższych dwóch założeń otrzymuje się z dowiedzionego twierdzenia, że każde dwa ciała rozkładu tego samego wielomianu $f$ z pierścienia wielomianów tego samego ciała $K$ są $K$-izomorficzne. Inaczej mówiąc, są tożsame z dokładnością do izomorfizmu.

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.