Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Bryła w trójwymiarze

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki – jeden z wielościanów archimedesowych, zbudowany z 62 ścian – 30 kwadratowych, 20 sześciokątnych i 12 dziesięciokątnych, ma 120 wierzchołków i 180 krawędzi.

Oznaczany jest symbolem Schläfliego i symbolem Wythoffa . Wielościanem dualnym do tej bryły jest dwudziestościan szóstkowy[1][2][3][4][5][6][7].

Wśród wszystkich wielościanów archimedesowych o tej samej długości krawędzi, ta bryła ma największą objętość i pole powierzchni[1][2][3].

Wielościan jest zonościanem (ang. zonohedron, vide:[1]).[1]

Bryłę tę skonstruował przy pomocy origami E. K. Herrstrom – konstrukcja wykorzystuje 900 jednostek sonobè[1].

Obracająca się bryła

Wzory i właściwości[edytuj]

Niech będzie długością krawędzi bryły.

[1][3]

Siatka bryły

[1][3]

[3], z czego wynika, że objętość kuli opisanej na bryle wynosi , czyli około [3]

, a więc objętość tej kuli można wyrazić wzorem , i wynosi ona w przybliżeniu [3]

  • Dystans normalny od środka bryły do jej ścian możemy wyrazić następującymi wzorami:
    • dla ściany kwadratowej [3]
    • dla ściany sześciokątnej [3]
    • dla ściany dwunastokątnej [3]
  • Niech oznacza odległość od krawędzi do środka bryły. Opiszmy na bryle dwunastościan, i oznaczmy jego krawędź jako , dwudziestościan, którego krawędź oznaczymy jako oraz trzydziestościan rombowy, którego przekątna dłuższej ściany będzie posiadała oznaczenie . Zachodzą wtedy następujące równości:
    • [6]
    • [6]
    • [6]
    • [6]
    • [6]

Powiązane obiekty[edytuj]

Z bryłą powiązanych jest wiele innych obiektów geometrycznych: wielościany z [5, 3] grupy Coxetera, parkietaże: euklidesowy, hiperboliczny, sferyczny. Istnieją też różne rzuty bryły i owych parkietaży[1][2][3]. Z bryła powiązany jest graf.

Graf[edytuj]

Ilustracja przedstawia graf zero-symetryczny utworzony z bryły[8].

Truncated icosidodecahedral graph.png

Powiązane wielościany i parkietaże[edytuj]

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [5, 3] grupą Coxetera[1][2][3].

Wielościan Parkietaż euklidesowy Parkietaż hiperboliczny
Diagram Coextera [5, 3] t[5, 3] r[5, 3] t[3,5] [3,5] rr[5,3] tr[5,3] [6, 3] [7, 3] [8, 3]
Odpowiadający obiekt Uniform polyhedron-53-t0.pngDwunastościan Uniform polyhedron-53-t01.pngDwunastościan ścięty Uniform polyhedron-53-t1.pngDwudziesto-dwunastościan Uniform polyhedron-53-t12.png

Dwudziestościan ścięty

Uniform polyhedron-53-t2.pngDwudziestościan Uniform polyhedron-53-t02.pngDwudziesto-dwunastościan rombowy mały Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki Uniform polyhedron-63-t012.png H2 tiling 237-7.png H2 tiling 238-7.png

Rzuty ortogonalne[edytuj]

Przykłady kilku rzutów ortogonalnych dwudziesto-dwunastościanu rombowego wielkiego.Wycentrowane na wierzchołek, trzy typy krawędzi oraz trzy rodzaje ścian bryły[3].

Rzuty ortogonalne bryły
Rzut wycentrowany na: Wierzchołek Krawędzie

4-6

Krawędzie

4-10

Krawędzie

6-10

Ściana kwadratowa Ściana sześciokątna Ściana dziesięciokątna
Obraz: Dodecahedron t012 v.png Dodecahedron t012 e46.png Dodecahedron t012 e4x.png Dodecahedron t012 e6x.png Dodecahedron t012 f4.png Dodecahedron t012 A2.png Dodecahedron t012 H3.png

Parkietaże sferyczne i diagramy Schlegela[edytuj]

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki może być też ukazany jako element parkietażu sferycznego oraz podobnego diagramu Schlegela.

Bryła jako parkietaż sferyczny i diagram Schlegela, oraz rzuty tych obiektów
Rzut ortograficzny R. stereograficzny wycentrowany na:
Dziesięciokąt Sześciokąt Kwadrat

Jako parkietaż sferyczny

Uniform tiling 532-t012.png Truncated icosidodecahedron stereographic projection decagon.png Truncated icosidodecahedron stereographic projection hexagon.png Truncated icosidodecahedron stereographic projection square.png
Jako diagram

Schlegela

Truncated icosidodecahedron ortho skew.png Truncated icosidodecahedron schlegel-decacenter-color.png Truncated icosidodecahedron schlegel-hexacenter-color.png Truncated icosidodecahedron schlegel-squarecenter-color.png

Przypisy[edytuj]

  1. a b c d e f g h Eric W. Weisstein, „Great Rhombicosidodecahedron” na MathWorld.
  2. a b c d The Great Rhombicosidodecahedron, eusebeia.dyndns.org [dostęp 2017-07-03] (ang.).
  3. a b c d e f g h i j k l m Harish Chandra Rajpoot, Mathematical analysis of great rhombicosidodecahedron (the largest Ar…, 19 marca 2015 [dostęp 2017-07-03].
  4. graniastosłupy, www.zobaczycmatematyke.krk.pl [dostęp 2017-07-03].
  5. Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki – bryłyplatońskie, sites.google.com [dostęp 2017-07-03].
  6. a b c d e f Robert Whittaker, The Great Rhombicosidodecahedron | polyhedra.mathmos.net, polyhedra.mathmos.net [dostęp 2017-07-11] (ang.).
  7. great rhombicosidodecahedron, bulatov.org [dostęp 2017-07-11].
  8. R.C, R. J. Read, Wilson: An Atlas of Graphs. Oxford University Press, 1998, s. 269.

Linki zewnętrzne[edytuj]

Informacje o bryle[edytuj]

Strony z siatką bryły do wydruku[edytuj]