Ekwalizator i koekwalizator

W teorii kategorii pojęcie ekwalizatora jest uogólnieniem pojęcia jądra morfizmu. Jest to formalizacja intuicyjnego pojęcia podobiektu, na którym dwa dane morfizmy są równe.

Ekwalizator

Załóżmy, że φ: A → B i ψ: A → B są równoległą parą morfizmów kategorii ${\mathfrak {A}}.$ Ekwalizator pary φ, ψ to obiekt E wraz z morfizmem λ: E → A spełniającym następujące dwa warunki:

(i) φλ = ψλ,

(ii) dla dowolnego obiektu X i dowolnego morfizmu ξ: X → A spełniającego warunek φξ = ψξ istnieje jeden i tylko jeden morfizm θ: X → E taki, że λθ = ξ.

Standardowe rozumowanie pokazuje, że jeśli para φ, ψ ma ekwalizator λ, to jest on przez te morfizmy wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu oraz λ jest monomorfizmem.

W kategoriach Set, Grp, Top i wielu innych ekwalizatorem równoległej pary φ, ψ mofizmów jest podobiekt $E=\{x\mid \varphi (x)=\psi (x)\}$ wraz z włożeniem tożsamościowym $i\colon E\to A.$

Koekwalizator

Pojęciem dualnym do ekwalizatora jest koekwalizator. Jeśli φ: A→B i ψ: A→B są równoległą parą morfizmów, to koekwalizatorem tej pary jest obiekt K wraz z morfizmem λ: B → K spełniającym następujące dwa warunki:

(i*) λφ = λψ,

(ii*) dla dowolnego obiektu X i dowolnego morfizmu ξ: B → X spełniającego warunek ξφ = ξψ istnieje jeden i tylko jeden morfizm θ: K → X taki, że θλ = ξ.

Jeśli para φ, ψ ma koekwalizator λ, to jest on wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu oraz jest epimorfizmem.

W kategoriach Set i Top koekwalizatorem równoległej pary φ, ψ mofizmów jest obiekt ilorazowy K = B/~, gdzie ~ jest najmniejszą relacją równoważności w B taką, że φ(a) ~ ψ(a) dla każdego a ∈ A, wraz z kanoniczną suriekcją λ: B → B/~. Natomiast w kategorii Grp należy dzielić grupę B przez podgrupę normalną generowaną przez wszystkie ilorazy φ(a)ψ(a)^–1, a ∈ A.

Jądro i kojądro morfizmu

Załóżmy, że kategoria ${\mathfrak {A}}$ ma obiekt zerowy i morfizmy zerowe 0_A,B: A → B. Jądro morfizmu φ: A → B to ekwalizator pary φ, 0_A,B. W kategoriach Grp, Ab, Vect_K jądrem morfizmu jest przeciwobraz elementu neutralnego.

Dualnie, kojądro morfizmu φ: A → B to koekwalizator pary φ, 0_A,B.

W kategoriach Ab i Vect_K kojądrem morfizmu jest epimorfizm kanoniczny π: B → B/N, gdzie N = φ(A); w kategorii Grp jako N należy wziąć najmniejszą podgrupę normalną zawierającą φ(A).

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. T. 45. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].