Jądro (teoria kategorii)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pojęcie, którego szczególnymi przypadkami są: jądro homomorfizmu grup, jądro homomorfizmu pierścieni, modułów itp.

Jądro morfizmu[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie kategorią z morfizmami zerowymi.

Ilustracja definicji jądra morfizmu

Morfizm nazywamy jądrem morfizmu[1] jeśli:

  • dla każdego morfizmu takiego że istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm że

Jądro morfizmu oznaczane jest przez

Jeśli i to istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony izomorfizm że Na odwrót, jeśli i jest izomorfizmem, to morfizm jest jądrem Zatem wszystkie jądra morfizmu tworzą podobiekt obiektu który oznaczany jest przez

Własności jądra morfizmu[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli to jest monomorfizmem normalnym. Twierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe.
  • Jądrem morfizmu zerowego jest morfizm jednostkowy
  • Jądro morfizmu jednostkowego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w istnieje obiekt zerowy.
  • Nie w każdej kategorii z morfizmami zerowymi każdy morfizm ma jądro.
  • W kategorii z obiektem zerowym morfizm posiada jądro wtedy i tylko wtedy, gdy w istnieje kwadrat uniwersalny względem morfizmów i Warunek ten jest spełniony w szczególności dla dowolnego morfizmu lokalnie małej lewostronnie kategorii z obiektem zerowym i koiloczynem.

Kojądro morfizmu[edytuj | edytuj kod]

Ilustracja definicji kojądra morfizmu

Niech będzie kategorią z morfizmami zerowymi. Morfizm nazywa się kojądrem morfizmu[2] jeśli:

  • dla każdego morfizmu takiego że istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm że

Kojądro morfizmu oznacza się

Jeśli i to istnieje jednoznacznie określony izomorfizm że

Na odwrót, jeśli i jest izomorfizmem, to jest kojądrem morfizmu Zatem wszystkie kojądra morfizmu tworzą obiekt ilorazowy obiektu który oznacza się

Pojęcie to jest dualne do pojęcia jądra morfizmu. W kategoriach przestrzeni wektorowych, grup, pierścieni i innych struktur algebraicznych opisuje największy obiekt ilorazowy obiektu zerujący obraz homomorfizmu

Własności kojądra morfizmu[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli to jest epimorfizmem konormalnym. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.
  • Kojądro morfizmu zerowego jest równe
  • Kojądro morfizmu istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w jest obiekt zerowy.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Математическая энциклопедия, t. 5, op. cit., s. 1044.
  2. Математическая энциклопедия, t. 3, op. cit., s. 74.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985.
  • Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982.
  • Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  • Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.
  • Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.