Podgrupa normalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Podgrupa normalna (niezmiennicza, dzielnik normalny) – rodzaj podgrupy umożliwiający badanie struktury grupy poprzez grupy ilorazowe, w których podgrupa ta jest utożsamiana z elementem neutralnym.

Zwykle struktury ilorazowe można utworzyć wyłącznie za pomocą relacji równoważności. W teorii grup taka relacja wyznacza jednak pewną strukturę (właśnie podgrupę normalną), która umożliwia jednoznaczną konstrukcję grup ilorazowych. Tak więc korzysta się wyłącznie ze środków algebraicznych nie posiłkując się przy tym ogólną teorią mnogości. Podobna sytuacja w ogólności jest rzadka: zachodzi wyłącznie w teorii pierścienipierścień ilorazowy wyznaczany jest jednoznacznie przez pewien ideał (każdy ideał jest podgrupą normalną w grupie addytywnej pierścienia).

Definicje[edytuj]

Podgrupę grupy nazywa się podgrupą normalną, jeśli wszystkie jej warstwy lewostronne równają się odpowiadającym im warstwom prawostronnym, tzn. gdy dla wszystkich . Fakt ten oznacza się symbolem .

Warunki równoważne[edytuj]

Niech będzie podgrupą grupy . Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) jest podgrupą normalną,
(ii) zbiory warstw lewo- i prawostronnych w są równe, czyli ,
(iii) relacja równoważności na zbiorze określona wzorem
jest zgodna z działaniem w grupie , czyli dla wszystkich
,
(iii') relacja równoważności na zbiorze określona wzorem
jest zgodna z działaniem w grupie , czyli dla wszystkich
,
(iv) dla każdego zachodzi ,
(iv') dla każdego zachodzi ,
(v) dla każdego zachodzi ,
(v') dla każdego zachodzi ,
(vi-vi') grupa jest niezmiennicza ze względu na sprzężenia, czyli
dla dla dowolnego
lub
dla dla dowolnego ,
(vii) jest sumą klas sprzężoności ,
(viii) istnieje pewien homomorfizm określony na , którego jądrem jest .

Każdy z powyższych warunków może być przyjęty za definicję normalności podgrupy.

Niektórzy autorzy używają oznaczenia dla rodziny wszystkich podgrup normalnych grupy (od ang. Normal Subgroup).

Uwagi[edytuj]

Podgrupy trywialne grupy , czyli zawarte w niej grupa trywialna oraz cała grupa , są w niej normalne – nazywa się je trywialnymi podgrupami normalnymi. Nietrywialne podgrupy normalne grupy nazywa się właściwymi podgrupami normalnymi i oznacza czasem za pomocą symbolu . Grupa, która nie ma właściwych podgrup normalnych nazywa się grupą prostą.

Podgrupy normalne są niezmiennicze ze względu na działanie całej grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne. Podgrupy niezmiennicze ze względu na wszystkie automorfizmy nazywa się podgrupami charakterystycznymi.

Własności[edytuj]

  • Normalność jest zachowywana przy epimorfizmach (suriektywnych homomorfizmach), a także braniu przeciwobrazów.
  • Normalność jest zachowywana przy braniu iloczynów prostych.
  • Podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy nie musi być normalna w tej grupie, tzn. normalność nie jest relacją przechodnią. Jednakże podgrupa charakterystyczna podgrupy normalnej jest normalna w grupie. Również podgrupa normalna czynnika centralnego jest normalna w grupie. W szczególności podgrupa normalna czynnika prostego jest normalna w całej grupie.
  • Każda podgrupa indeksu 2 jest normalna:
    jeżeli , to jest podgrupą normalną w (istnieją wyłącznie dwie warstwy lewostronne jak i prawostronne: izomorficzne z oraz z dopełnieniem , stąd , co oznacza, że jest normalna).
Ogólniej, podgrupa taka, że zawiera podgrupę normalną w indeksu dzielącego nazywaną rdzeniem normalnym (ang. normal core). W szczególności jeżeli jest najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą rząd , to każda podgrupa o indeksie jest normalna.

Krata[edytuj]

Podgrupy normalne w tworzą kratę ze względu na zawieranie zbiorów o elemencie najmniejszym i największym . Dla danych dwóch podgrup normalnych ich infimum określone jest jako ich przekrój (zawsze jest podgrupą):

,

a supremum dane jest jako grupa generowana przez te podgrupy (również zawsze jest podgrupą):

w przypadku grup przemiennych jest równe iloczynowi kompleksowemu dlatego przyjmuje się wtedy zwykle po prostu

Związek z homomorfizmami[edytuj]

Podgrupy normalne są ważne ze względu na fakt, iż jeżeli jest normalna w , to można skonstruować z niej grupę ilorazową : mnożenie na warstwach określone jest wzorem

.

Niech oznacza element neutralny grupy. Istnieje naturalny homomorfizm dany wzorem . Obraz składa się wyłącznie z elementu neutralnego , warstwy .

W ogólności homomorfizm grup przeprowadza podgrupy na podgrupy , również przeciwobraz dowolnej podgrupy w jest podgrupą w . Przeciwobraz podgrupy trywialnej w nazywa się jądrem homomorfizmu i oznacza symbolem . Okazuje się, że jądro jest zawsze podgrupą normalną, a obraz jest zawsze izomorficzny z (pierwsze twierdzenie o izomorfizmie). Rzeczywiście, odpowiedniość ta jest bijekcją między zbiorem wszystkich grup ilorazowych w a zbiorem wszystkich obrazów homomorficznych (co do izomorfizmu). Jądrem odwzorowania ilorazowego, jest samo , a więc podgrupy normalne są dokładnie jądrami homomorfizmów o dziedzinie .

Przykłady[edytuj]

  • W dowolnej grupie przemiennej każda jej podgrupa jest normalna. Grupy w których każda podgrupa jest normalna nazywane są grupami Hamiltona, istnieją nieprzemienne grupy tego rodzaju.
  • Podgrupa obrotów jest normalna grupie izometrii wielokąta foremnego , gdzie jest obrotem, – dowolną symetrią osiową, – liczbą wierzchołków wielokąta (podgrupa ta jest nawet charakterystyczna).
  • Podgrupa alternująca grupy symetrycznej jest w niej normalna, ponieważ dla każdego .

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]