Forma modularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Forma modularnafunkcja zmiennej zespolonej spełniająca pewien warunek regularności, pewne równanie funkcyjne oraz o ograniczonym wzroście. Formy modularne można rozpatrywać jako daleko posunięte uogólnienie funkcji okresowych. Teoria form modularnych jest bardzo bogata i należy w zasadzie do analizy zespolonej, ale najważniejsze zastosowania te obiekty mają we współczesnej teorii liczb i teorii reprezentacji, tam też ujawniają swoje najgłębsze własności. Formy modularne w naturalny sposób pojawiają się w bardzo wielu gałęziach matematyki, np. w topologii algebraicznej czy teorii strun.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie dodatnią liczbą naturalną. Grupa modularna zdefiniowana jest w sposób następujący:

Niech będzie dodatnią liczbą naturalną. Formą modularną ciężaru poziomu nazywa się funkcję holomorficzną określoną na górnej półpłaszczyźnie zespolonej taką, że dla każdego

i dowolnego zachodzi

oraz jest holomorficzna w ostrzach.

Uwagi[edytuj]

W literaturze matematycznej występuje wiele definicji form modularnych, niektóre z nich różnią się między sobą poziomem ogólności. Nie wykrystalizowała się dotychczas "kanoniczna" definicja formy modularnej. Definicja podana powyżej wydaje się najbardziej ogólną z wielu spotykanych wariantów.

Własności[edytuj]

Łatwo zauważyć (biorąc w definicji ), że każda forma modularna spełnia równanie

tak więc można ją rozwinąć w szereg Fouriera. W teorii form modularnych przyjęło się rozważać ten szereg jako szereg Laurenta względem zmiennej . Ze względu na warunek holomorficzności, rozwinięcie takie musi mieć skończoną ilość wyrazów przy ujemnych potęgach, przedstawia się więc wzorem:

gdzie przyjmuje się, że jest najmniejszą liczbą taką, że . Liczbę nazywamy rzędem osobliwości w biegunie .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]