Funkcja Żukowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja Żukowskiego – funkcja wymierna zmiennej zespolonej określona wzorem:

.
Przykład transformaty Żukowskiego. Okrąg (powyżej) jest przekształcany na profil Żukowskiego (poniżej)

Odwzorowanie Żukowskiego przyporządkowujące punktowi punkt można określić następująco

Zatem jej część rzeczywista jest równa a część urojona jest równa

W obszarze jest to funkcja holomorficzna, bo ma na nim różną od zera pochodną:

Jej zastosowania w hydrodynamice odkrył uczony rosyjski Nikołaj Żukowski[1][2]. Z ich pomocą skonstruował on profil Żukowskiego, który jest obrazem okręgu stycznego do okręgu jednostkowego w punkcie Funkcję Żukowskiego (często w odniesieniu do przekształcenia konkretnego okręgu na profil) nazywa się także odwzorowaniem Żukowskiego lub transformacją Żukowskiego.

Funkcję tę można rozważać jako funkcję meromorficzną w płaszczyźnie zespolonej domkniętej[3]. Funkcja ta ma dwa bieguny pierwszego rzędu w punktach 0 i [4].

Funkcja Żukowskiego odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zarówno wnętrze, jak i zewnętrze okręgu jednostkowego na zewnętrze odcinka (osi rzeczywistej). Przy tym okręgi są odwzorowywane na elipsy o ogniskach i półosiach , a pary średnic okręgu jednostkowego symetrycznych względem osi współrzędnych, składających się z promieni dla są odwzorowywane na hiperbole o ogniskach i półosiach z wyłączeniem wierzchołków tych hiperbol[5].

Przykłady profilów Żukowskiego[edytuj]

Przekształcenie Żukowskiego okręgu jednostkowego jest przypadkiem szczególnym.

Dlatego część rzeczywista obrazu jest równa , a część urojona

Stąd wynika, że okrąg jednostkowy jest przekształcany na przedział osi liczb rzeczywistych.

Obrazy innych okręgów dają szerokie spektrum przekrojów skrzydeł.

Przekształcenie Kármána–Trefftza[edytuj]

W celu subtelniejszego wykorzystania, funkcję Żukowskiego można przedstawić w postaci złożenia trzech funkcji, w każdej z których można umieścić pewien parametr. Nazywa się ją uogólnioną funkcją Żukowskiego lub odwzorowaniem Kármána-Trefftza i stanowi ważny instrument modelowania przepływów. Po pominięciu współczynnika funkcja Żukowskiego może być przedstawiona jako złożenie trzech funkcji zespolonych.

, gdzie

,

,

, czyli

.

Wynika to z tego, że po dodaniu i odjęciu 2 od funkcji Żukowskiego:

oraz podzieleniu obu wyrażeń przez siebie otrzymuje się:

Rozwiązując to równanie względem uzyskuje się:

.


Przykład przekształcenia Kármána–Trefftza. Okrąg powyżej w ς-płaszczyźnie jest przekształcany na profil Kármána–Trefftza poniżej, w z-płaszczyźnie. Użyto parametrów: μx = –0.08, μy = +0.08 i n = 1.94.

Przekształcenie Kármána–Trefftza jest przekształceniem konforemnym ściśle związanym z przekształceniem Żukowskiego. Podczas gdy profil Żukowskiego ma szpiczastą krawędź spływu, profil Kármána–Trefftza — który jest obrazem przekształcenia okręgu z ς-płaszczyny w fizycznej z-płaszczyzny, analogicznie do definicji profilu Żukowskiego — ma niezerowy kąt w krawędzi spływu, między górną i dolną powierzchnią profilu. Przekształcenie Kármána–Trefftza wymaga zatem dodatkowego parametru: kąta α w krawędzi spływu. Przekształcenie to wyraża się wzorem:[6]

  (A)

gdzie parametr n jest nieco mniejszy od 2. Kąt α, między stycznymi do górnej i dolnej powierzchni profilu w krawędzi spływu jest związany z n następująco:[6]

Pochodna , potrzebna do obliczenia pola prędkości, jest równa:


Przypisy

  1. Н. Е. Жуковский: Гидродинамика. Собрание сочинений. T. 2. Москва-Ленинград: 1949.
  2. Н. Е. Жуковский: Теоретические основы воздухоплавания. Собрание сочинений. T. 6. Москва-Ленинград: 1950.
  3. Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1981, s. 267.
  4. Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1981, s. 267.
  5. А. И. Маркушевич: Краткий курс теории аналитических функций. Москва: Мир, 2006, s. 84–85. ISBN 5-03-003553-2.
  6. a b Louis M. Milne-Thomson: Theoretical aerodynamics. Wyd. 4. Dover Publ., 1973, s. 128–131. ISBN 0-486-61980-X.