Hiperbola (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy krzywej stożkowej. Zobacz też: inne znaczenia.
Hiperbole sprzężone

Hiperbola (stgr. ὑπερβολή hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”[1][2]) – krzywa będąca zbiorem takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch ustalonych punktów – nazywanych ogniskami hiperboli – jest stała[3].

Hiperbola jest zarazem krzywą stożkową, dla której kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne i to można ją opisać równaniem:

gdzie jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

Jeżeli to hiperbola nazywana jest równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi:

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

Obierając na hiperboli dowolny punkt przez oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez odległość pomiędzy punktem a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

  • dla prawej gałęzi:
  • dla lewej gałęzi:

Niech będzie odległością ustalonego punktu od lewej kierownicy, a odpowiednio – od prawej. Wówczas:

Hiperbolę o równianiu

nazywa się hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie hiperboli spełnia równanie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Władysław Kopaliński: hiperbola. W: Słownik wyrazów obcych i zwrotów obcojęzycznych [on-line]. slownik-online.pl. [dostęp 2018-07-16]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-07-02)].
  2. Henry George Liddell, Robert Scott: ὑπερβολή (ang.). W: A Greek-English Lexicon [on-line]. [dostęp 2018-07-16].
  3. Hiperbola, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-30].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Hyperbola, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).