Hiperbola (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Hiperbolakrzywa stożkowa będąca zbiorem takich punktów, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.

hiperbola

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne (-c,0) i (c,0), to można ją opisać równaniem:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,

gdzie a jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast b jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek: b^2=c^2-a^2.

Jeżeli a=b to hiperbolę nazywamy równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi e={2c \over 2a}={c \over a} > 1. Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywamy proste wyrażone równaniami x=\pm{a \over e}=\pm{a^2 \over c}.

Obierzmy na hiperboli dowolny punkt P=(x,y), przez r_1 oznaczmy odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez r_2 odległość pomiędzy punktem P a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

  • dla prawej gałęzi: r_1=a+ex,\ \ r_2=-a+ex;
  • dla lewej gałęzi: r_1=-a-ex,\ \ r_2=a-ex.

Niech d_1 będzie odległością ustalonego punktu P od lewej kierownicy, a d_2, odpowiednio, od prawej. Wówczas:

{r_1 \over d_1}={r_2 \over d_2}=e.

Hiperbolę o równianiu

-{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}=1

nazywamy hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach

y=\pm{b \over a}x.

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywamy średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie Q=(p,q) hiperboli spełnia równanie

{px \over a^2}-{qy \over b^2}=1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]