Hiperbola (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
hiperbola

Hiperbolakrzywa będąca zbiorem takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch ustalonych punktów nazywanych ogniskami hiperboli jest stała.

Hiperbola jest zarazem krzywą stożkową, dla której kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.


Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne i to można ją opisać równaniem:

,

gdzie jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

Jeżeli to hiperbola nazywana jest równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi:

.

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

.

Obierając na hiperboli dowolny punkt , przez oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez odległość pomiędzy punktem a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

  • dla prawej gałęzi: ;
  • dla lewej gałęzi: .

Niech będzie odległością ustalonego punktu od lewej kierownicy, a , odpowiednio − od prawej. Wówczas:

Hiperbolę o równianiu

nazywa się hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie hiperboli spełnia równanie

Zobacz też[edytuj kod]