Hiperbola (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
hiperbola

Hiperbolakrzywa będąca zbiorem takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch ustalonych punktów nazywanych ogniskami hiperboli jest stała.

Hiperbola jest zarazem krzywą stożkową, dla której kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.


Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne (-c,0) i (c,0), to można ją opisać równaniem:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ,

gdzie a jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast b jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

b^2=c^2-a^2.

Jeżeli a=b to hiperbola nazywana jest równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi:

e={2c \over 2a}={c \over a} > 1.

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

x=\pm{a \over e}=\pm{a^2 \over c}.

Obierając na hiperboli dowolny punkt P=(x,y), przez r_1 oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez r_2 odległość pomiędzy punktem P a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

  • dla prawej gałęzi: r_1=a+ex,\ \ r_2=-a+ex;
  • dla lewej gałęzi: r_1=-a-ex,\ \ r_2=a-ex.

Niech d_1 będzie odległością ustalonego punktu P od lewej kierownicy, a d_2, odpowiednio − od prawej. Wówczas:

{r_1 \over d_1}={r_2 \over d_2}=e.

Hiperbolę o równianiu

-{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}=1

nazywa się hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach

y=\pm{b \over a}x.

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie Q=(p,q) hiperboli spełnia równanie

{px \over a^2}-{qy \over b^2}=1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]