Elipsa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Elipsa otrzymana jako przecięcie stożka płaszczyzną.

Elipsa (gr. ἔλλειψις elleipsis – „brak, opuszczenie, pominięcie”) – przypadek ograniczonej krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

Elipsy powstają także jako obrazy okręgu lub sfery w rzucie równoległym i pewnych przypadkach rzutu perspektywicznego. W istocie okręgi są przypadkami szczególnymi elips. Elipsa jest również domkniętym i ograniczonym przypadkiem krzywej stopnia drugiego danej wzorem uwikłanym lub krzywej wymiernej drugiego stopnia. Jest to zarazem najprostsza figura Lissajous powstająca, gdy drgania poziome i pionowe mają tę samą częstotliwość.

Podstawowe pojęcia i własności[edytuj]

Elipsa

Elipsa to gładka krzywa zamknięta symetryczna względem jej środka. Odległość między punktami antypodycznymi elipsy czyli parami punktów, których środek odcinka przez nie wyznaczany jest zarazem środkiem symetrii elipsy, jest maksymalna i minimalna wzdłuż dwóch prostopadłych kierunków – osi wielkiej (średnicy transwersalnej) oraz osi małej (średnicy sprzężonej).

Półoś wielka, półoś mała, ogniska, kierownice[edytuj]

Półoś wielka i półoś mała elipsy (oznaczone na rysunku odpowiednio przez i ) są połowami odpowiednio osi wielkiej i małej. Na osi wielkiej, po obu stronach jej środka, znajdują się dwa wyróżnione punkty oraz takie, że suma odległości dowolnego punktu elipsy od wspomnianych punktów jest stała i równa długości osi wielkiej (). Każdy z tych dwóch punktów nazywany jest ogniskiem elipsy. Odległości ognisk od środka elipsy są równe:

Jeżeli jest równe , to ogniska pokrywają się ze środkiem i wówczas elipsa staje się okręgiem o promieniu .

Proste prostopadłe do półosi wielkiej elipsy, odległe od środka elipsy o:

są kierownicami elipsy. Dla okręgu kierownice znajdują się „w nieskończoności”.

Mimośród[edytuj]

Mimośrodem (ekscentrycznością) elipsy nazywamy parametr będący wartością opisującą stosunek długości ogniskowej do długości półosi wielkiej.

Mimośród zawiera się w przedziale od 0 do 1. Jest on równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, a więc kiedy elipsa jest okręgiem. Gdy mimośród dąży do 1, elipsa wydłuża się, a współczynnik dąży do nieskończoności.

Jeżeli elipsa o ogniskach i jest dana równaniem analitycznym

,

to

.

Odległość ae od ogniska do środka nazywana jest mimośrodem liniowym (ekscentrycznością liniową) elipsy.

W obliczeniach geodezyjnych i kartograficznych mają zastosowanie następujące oznaczenia:[1]

mimośród
drugi mimośród  
trzeci mimośród  

Parametry te mają zastosowanie do elipsoidy obrotowej, ale wywodzą się z elipsy południkowej.

Spłaszczenie[edytuj]

Podobnie w obliczeniach geodezyjnych i astronomicznych są używane parametry elipsy nazywane spłaszczeniem:

(pierwsze) spłaszczenie Podstawowe, odwrotność 1/f służy do określenia elipsoidy odniesienia.
drugie spłaszczenie   Rzadziej używane.
trzecie spłaszczenie Używane w obliczeniach geodezyjnych.

Geneza nazwy[edytuj]

Nazwa „elipsa” została zaczerpnięta (według Pappusa z Aleksandrii) przez Apoloniusza z Pergi z wczesnej pitagorejskiej terminologii dotyczącej przykładania pól powierzchni: po przyłożeniu prostokąta do odcinka (tj. umieszczeniu podstawy prostokąta wzdłuż odcinka tak, by jeden z końców odcinka i jeden z końców podstawy pokrywały się) przyłożonemu prostokątowi „brakowało” do długości odcinka; równanie elipsy to gdzie skąd a więc kwadrat rzędnej punktu elipsy jest mniejszy niż pole prostokąta o bokach długości równych parametrowi oraz odciętej. Ślad tej relacji można też zaobserwować w równaniu ogólnym stożkowej, w którym elipsa charakteryzuje się spełnianiem nierówności

Kreślenie[edytuj]

Elipsa narysowana za pomocą dwóch szpilek, pętli oraz długopisu.
Model elipsografu.

Metoda szpilek i sznurka[edytuj]

Elipsę można nakreślić za pomocą dwóch szpilek (pinezek), kawałka sznurka i rysika (ołówka, długopisu):

Należy wetknąć szpilki w dwa punkty papieru, które staną się ogniskami elipsy, następnie zawiązać sznurek w luźną pętlę wokół szpilek, po czym naciągnąć sznurek za pomocą rysika tak, by powstał trójkąt. Elipsa zostanie nakreślona poprzez przesuwanie rysika po powierzchni kartki przy zachowaniu napięcia sznurka.

Aby nakreślić elipsę wpisaną w dany prostokąt, styczną do jego czterech boków w ich środkach, należy najpierw określić położenie ognisk i długość pętli:

Niech będą wierzchołkami prostokąta danymi w porządku odwrotnym do wskazówek zegara, gdzie jest jednym z dłuższych boków. Należy nakreślić okrąg o środku w i promieniu równym długości krótszego boku , a następnie wyznaczyć styczną do okręgu przechodzącą przez . Długość odcinka od do punktu styczności jest odległością między ogniskami. Należy następnie nakreślić dwie proste prostopadłe przez środek prostokąta równoległe do jego boków; będą to osie wielka i mała elipsy. Ogniska rozmieszczone są symetrycznie na osi wielkiej w odległości od środka.
Aby dostosować długość pętli sznurka należy wetknąć szpilkę w jedno z ognisk, drugą zaś w przeciwny (położony dalej) koniec osi głównej, po czym wykonać ścisłą pętlę wokół dwóch szpilek (tak, by była napięta). Oznacza to, że długość sznurka jest określona wzorem , gdzie jest długością ogniskowej[2] a to długość osi wielkiej.

Inne metody[edytuj]

Elipsa może być także nakreślona za pomocą linijki, ekierki oraz rysika:

Należy nakreślić dwie proste prostopadłe na papierze; będą to osie wielka i mała elipsy. Następnie na linijce należy oznaczyć punkty . Obracając jedną ręką linijkę tak, by punkt zawsze leżał na prostej , a punkt na prostej i kreśląc rysikiem za pomocą drugiej ręki na papierze śladem punktu na linijce otrzymuje się elipsę.

Metoda ta może być wykorzystana przy cięciu elips z materiałów drewnianych za pomocą frezarek (ręcznych). Innym przyrządem korzystającym z tej zasady jest elipsograf: linijka zastąpiona jest prętem z uchwytem na rysik (punkt ) z jednej strony oraz dwoma przesuwnymi bolcami, które przesuwają się w dwóch prostopadłych prowadnicach wyciętych płycie (zob. też nothing grinder).

Geometria analityczna[edytuj]

Elipsa w pozycji kanonicznej opisana jest w układzie współrzędnych kartezjańskich równaniem

gdzie i są długościami półosi.

Elipsa w postaci parametrycznej dana jest jako

gdzie

.

W układzie współrzędnych biegunowych elipsę opisuje wzór

gdzie

jest kwadratem mimośrodu.

Własności[edytuj]

Pole i obwód[edytuj]

Pole powierzchni ograniczonej przez elipsę:

Obwód elipsy jest dany tzw. całką eliptyczną i nie daje się w ogólnym przypadku zapisać w postaci algebraicznej. Przybliżony wzór na obwód elipsy

Dokładny wzór na obwód elipsy wyraża się następująco ( to zupełna całka eliptyczna drugiego rodzaju, a to mimośród elipsy):

Istnieją różne konwencje zapisu funkcji specjalnej . W niektórych należy przekazać jako argument nie kwadrat mimośrodu, ale sam mimośród. Pamiętać należy jednak, że pod samym znakiem całki występuje w drugiej potędze - nigdy w pierwszej lub czwartej.

Gdy chcemy uzyskać długość łuku elipsy, nie cały obwód, musimy skorzystać z niezupełnej całki eliptycznej drugiego rodzaju[3].

Rys. 1 - własność stycznej

Styczna[edytuj]

Styczna w punkcie P do elipsy o ogniskach jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta . Jest to równoznaczne z tym, że promień świetlny wychodzący z jednego ogniska elipsy po odbiciu (zgodnie z zasadą, że kąt padania jest równy kątowi odbicia) od krawędzi elipsy przejdzie przez drugie ognisko (kolorowe kąty na rysunku 1 mają równe miary).

Dowód własności stycznej
Dowód

Załóżmy, że dwusieczna tego kąta nie jest styczną, czyli przecina elipsę w pewnym punkcie różnym od

Niech będzie odbiciem w dwusiecznej. Z symetrii wynika, że

więc

gdzie oznacza długość dużej półosi elipsy. Podobnie pokazujemy, że

Ponieważ kąt jest kątem zewnętrznym trójkąta to punkty są współliniowe, więc są niewspółliniowe.

Stąd . Jest to sprzeczne z .

Zakładając nieprawdziwość tezy, doszliśmy do sprzeczności, zatem teza została udowodniona.

Rys. 2 - własność dwóch stycznych

Dwie styczne[edytuj]

Gdy z punktu leżącego na zewnątrz elipsy poprowadzimy dwie proste, styczne do elipsy w punktach i to

(kąty o tych samych kolorach na rysunku 2 mają równe miary).

Dowód pierwszej równości
Dowód własności dwóch stycznych

Odbijamy elipsę w obu stycznych. Ogniska obrazów oznaczamy odpowiednio przez

Pamiętając własność stycznej udowodnioną powyżej, łatwo otrzymujemy, że ( - duża półoś). Oprócz tego, bo są obrazami tego samego odcinka.

Zatem

więc

oraz

gdzie - odbicie w

Lewe części tych równości są równe, oraz, ; stąd

czyli

Ponieważ

to

Więc mamy a stąd wynika równość którą trzeba było udowodnić.

Rys. 3 - trójkąt opisany

Trójkąt opisany[edytuj]

Gdy punkty leżące wewnątrz trójkąta ABC spełniają

to istnieje elipsa o ogniskach wpisana w trójkąt, czyli styczna do jego trzech boków (rys. 3). Wtedy zachodzi również Szczególnym przypadkiem takiej elipsy jest elipsa o ogniskach w ortocentrum i środku okręgu opisanego na trójkącie.

Dowód

Możemy tak dobrać dużą półoś elipsy, żeby była styczna do Z twierdzenia odwrotnego do powyższej własności o dwóch stycznych (które jest oczywistą konsekwencją tej własności) mamy, że jest ona styczna do pozostałych boków trójkąta, bo zachodzą równości odpowiednich kątów. Korzystając ponownie z własności stycznych otrzymujemy równość

Dokonując rachunku na kątach otrzymujemy powyższe równości dla ortocentrum i środka okręgu opisanego, z czego wynika, że istnieje elipsa wpisana w trójkąt o takich ogniskach.

Rys. 4 - okrąg opisany

Okrąg opisany[edytuj]

Niech będzie rzutem prostokątnym ogniska elipsy na styczną do niej. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów jest okrąg o środku w środku odcinka łączącego ogniska i o promieniu równym dużej półosi elipsy (czerwony okrąg na rys. 4).

Dowód
Dowód twierdzenia o okręgu opisanym

Poprowadźmy dwie równoległe styczne do elipsy w punktach Są one symetryczne względem środka elipsy, więc jest równoległobokiem.

Niech będą rzutami prostokątnymi ognisk na styczną w zaś na styczną w Odbijamy w prostej otrzymując punkt

Punkty są symetryczne względem więc

Stąd jest równoległobokiem, czyli

Ale

Więc gdzie - duża półoś (korzystamy z równości wynikających z istnienia odpowiednich równoległoboków).

jest średnicą okręgu opisanego na prostokącie ABCD, którego środkiem jest więc , co należało pokazać.

Uogólnienia[edytuj]

Elipsa jest szczególnym przypadkiem superelipsy. Odpowiednikiem elipsy w przestrzeni trójwymiarowej jest elipsoida.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. dr inż. Paweł Pędzich: Kartografia matematyczna (pol.). Zakład Kartografii Politechniki Warszawskiej. [dostęp 2014-03-06].
  2. tak nazywa się czasem odległość między ogniskami
  3. Dokładniejsze informacje można znaleźć na stronie Wolfram MathWorld o elipsie

Linki zewnętrzne[edytuj]