Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja prostokątna Funkcja prostokątna jest zdefiniowana jako[1]
r
e
c
t
(
t
)
=
⊓
(
t
)
=
{
0
dla
|
t
|
>
1
2
1
2
dla
|
t
|
=
1
2
1
dla
|
t
|
<
1
2
.
{\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{dla }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{dla }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}
Funkcję prostokątną można wyrazić za pomocą funkcji skokowej Heaviside’a
u
{\displaystyle u}
rect
(
t
)
=
u
(
t
+
1
2
)
⋅
u
(
1
2
−
t
)
=
u
(
t
+
1
2
)
−
u
(
t
−
1
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot u\left({\frac {1}{2}}-t\right)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)-u\left(t-{\frac {1}{2}}\right).}
Zachodzi
∫
−
∞
∞
r
e
c
t
(
t
)
⋅
e
−
i
2
π
f
t
d
t
=
sin
(
π
f
)
π
f
=
s
i
n
c
(
f
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (f)}
i
1
2
π
∫
−
∞
∞
r
e
c
t
(
t
)
⋅
e
−
i
ω
t
d
t
=
1
2
π
⋅
s
i
n
c
(
ω
2
π
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right),}
gdzie
s
i
n
c
{\displaystyle \mathrm {sinc} }
Relacje te mają zastosowanie w teorii przetwarzania sygnałów i wynika z nich, że realizacja idealnego sygnału prostokątnego wymaga nieskończenie szerokiego pasma w dziedzinie częstotliwości .
Funkcja prostokątna z uwagi na brak ciągłości nie jest różniczkowalna w sensie klasycznym, ani nie jest słabo różniczkowalna . Jednak możliwe jest wyrażenie pochodnej z funkcji prostokątnej w teorii dystrybucji za pomocą delty Diraca
rect
′
(
t
)
=
δ
(
t
+
1
2
)
−
δ
(
t
−
1
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {rect} '(t)=\delta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\delta \left(t-{\frac {1}{2}}\right).}
Funkcja prostokątna ma zastosowanie przy definiowaniu równomiernego rozkładu prawdopodobieństwa .
