Słaba pochodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Słaba pochodna - rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Ustalenia wstępne[edytuj]

Niech będzie obszarem oraz niech oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w ze zwartym nośnikiem, zawartym w . Ponadto, niech .

Jeśli jest funkcją różniczkowalną w , to stosując wzór na całkowanie przez części można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to że funkcją ma zwarty nośnik tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):

dla .

Ogólniej, jeśli jest funkcją -krotnie różniczkowalną w , a jest wielowskaźnikiem, to

.

W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji , powstaje wówczas pytanie czy istnieje funkcja , że w powyższym wzorze.

Definicja[edytuj]

Niech funkcje będą lokalnie całkowalne w zbiorze [1] oraz niech będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja jest -tą słabą pochodną funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdej funkcji . Jeśli jest -tą słabą pochodną funkcji , to zapisujemy to

.

Uwaga[edytuj]

  • Słabe pochodne pewnej ustalonej funkcji są równe prawie wszędzie.

Przykład[edytuj]

Funkcja dana wzorem

nie jest różniczkowalna w punkcie jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.

Przypisy

  1. tzn. są elementami przestrzeni , gdzie dla ustalonego zbiór

Zobacz też[edytuj]