Słaba pochodna

Słaba pochodna – rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Ustalenia wstępne

Niech $U\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ będzie obszarem oraz niech $C_{c}^{\infty }(U)$ oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w $U$ ze zwartym nośnikiem, zawartym w $U.$ Ponadto, niech $\phi \in C_{c}^{\infty }(U).$

Jeśli $u$ jest funkcją różniczkowalną w $U,$ to stosując wzór na całkowanie przez części, można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to, że funkcją $u$ ma zwarty nośnik, tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):

$\int \limits _{U}u{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}dx=-\int \limits _{U}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\phi dx$

dla $1\leqslant i\leqslant N.$

Ogólniej, jeśli $u$ jest funkcją $k$-krotnie różniczkowalną w $U,$ a $\alpha$ jest wielowskaźnikiem, to

$\int \limits _{U}uD^{\alpha }\phi dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{U}D^{\alpha }u\phi dx.$

W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji $u,$ powstaje wówczas pytanie czy istnieje funkcja $v,$ że $D^{\alpha }u=v$ w powyższym wzorze.

Definicja

Niech funkcje $u,v$ będą lokalnie całkowalne w zbiorze $U$ oraz niech $\alpha$ będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja $v$ jest $\alpha$-tą słabą pochodną funkcji $u$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\int \limits _{U}uD^{\alpha }\phi dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{U}v\phi dx$

dla każdej funkcji $\phi \in C_{c}^{\infty }(U).$ Jeśli $v$ jest $\alpha$-tą słabą pochodną funkcji $u,$ to zapisujemy to

$v=D^{\alpha }u.$

Uwaga

• Słabe pochodne pewnej ustalonej funkcji są równe prawie wszędzie.

Przykład

Funkcja $f\colon [-1,1]\to [0,1]$ dana wzorem

$f(x)=|x|$

nie jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}=0$ jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.

Zobacz też

• podróżniczka
• przestrzeń Sobolewa