Słaba pochodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Słaba pochodna – rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Ustalenia wstępne[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie obszarem oraz niech oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w ze zwartym nośnikiem, zawartym w Ponadto, niech

Jeśli jest funkcją różniczkowalną w to stosując wzór na całkowanie przez części, można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to, że funkcją ma zwarty nośnik, tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):

dla

Ogólniej, jeśli jest funkcją -krotnie różniczkowalną w a jest wielowskaźnikiem, to

W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji powstaje wówczas pytanie czy istnieje funkcja że w powyższym wzorze.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech funkcje będą lokalnie całkowalne w zbiorze [1] oraz niech będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja jest -tą słabą pochodną funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdej funkcji Jeśli jest -tą słabą pochodną funkcji to zapisujemy to

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

  • Słabe pochodne pewnej ustalonej funkcji są równe prawie wszędzie.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Funkcja dana wzorem

nie jest różniczkowalna w punkcie jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Tzn. są elementami przestrzeni gdzie dla ustalonego zbiór