Funkcja sinc

Znormalizowana i nieznormalizowana funkcja sinc

Nieznormalizowana funkcja sinc (od łac. sinus cardinalis, również funkcja interpolująca lub pierwsza sferyczna funkcja Bessela) – funkcja definiowana jako:

$\operatorname {sinc} \ x={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}$

gdzie $\sin$ oznacza funkcję sinus.

Znormalizowana funkcja sinc, oznaczana tym samym symbolem:

$\operatorname {sinc} \ x={\begin{cases}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}$

Funkcja sinc jest transformatą Fouriera funkcji prostokątnej. Ma szerokie zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów i analizie filtrów. W teorii sygnałów zwana jest też jako Sa od angielskiego słowa sampling (próbkowanie).

Własności

Lokalne ekstrema $\sin x/x$ znajdują się na przecięciu z funkcją cosinus.

• Funkcja jest parzysta i różniczkowalna (a tym samym ciągła).

• Miejscami zerowymi nieznormalizowanej funkcji sinc są całkowite niezerowe wielokrotności liczby $\pi ,$ dla znormalizowanej funkcji są to wszystkie niezerowe liczby całkowite.

• Wykresy funkcji $\sin x/x$ i $\cos x$ przecinają się w tych punktach płaszczyzny, w których $\sin x/x$ osiąga ekstrema lokalne. Innymi słowy $\sin \xi /\xi =\cos \xi$ dla wszystkich punktów $\xi ,$ w których pierwsza pochodna funkcji $\sin x/x$ jest równa zero. W punkcie $\xi _{0}=0$ znajduje się maksimum globalne.

• Znormalizowaną funkcję sinc można zapisać jako iloczyn nieskończony

${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)$

• Euler odkrył, że

${\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).$

• Transformata Fouriera znormalizowanej funkcji sinc (względem częstotliwości) to funkcja prostokątna $\mathrm {rect} (f)$

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {rect} (f),$

co oznacza, że funkcja ta jest odpowiedzią impulsową idealnego filtru dolnoprzepustowego. W szczególności zachodzi:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\mathrm {rect} (0)=1$

Bibliografia

• Jerzy Szabatin, Przetwarzanie sygnałów 2003.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sinc Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-05-31].