Jej zastosowania w hydrodynamice odkrył uczony rosyjski Nikołaj Żukowski[1][2]. Z ich pomocą skonstruował on profil Żukowskiego, który jest obrazem okręgu stycznego do okręgu jednostkowego w punkcie Funkcję Żukowskiego (często w odniesieniu do przekształcenia konkretnego okręgu na profil) nazywa się także odwzorowaniem Żukowskiego lub transformacją Żukowskiego.
Funkcja Żukowskiego odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zarówno wnętrze, jak i zewnętrze okręgu jednostkowego na zewnętrze odcinka (osi rzeczywistej). Przy tym okręgi są odwzorowywane na elipsy o ogniskach i półosiach a pary średnic okręgu jednostkowego symetrycznych względem osi współrzędnych, składających się z promieni dla są odwzorowywane na hiperbole o ogniskach i półosiach z wyłączeniem wierzchołków tych hiperbol[4].
W celu subtelniejszego wykorzystania, funkcję Żukowskiego można przedstawić w postaci złożenia trzech funkcji, w każdej z których można umieścić pewien parametr. Nazywa się ją uogólnioną funkcją Żukowskiego lub odwzorowaniem Kármána-Trefftza i stanowi ważny instrument modelowania przepływów. Po pominięciu współczynnika funkcja Żukowskiego może być przedstawiona jako złożenie trzech funkcji zespolonych.
gdzie:
czyli
Wynika to z tego, że po dodaniu i odjęciu 2 od funkcji Żukowskiego:
oraz podzieleniu obu wyrażeń przez siebie otrzymuje się:
Rozwiązując to równanie względem uzyskuje się:
Przykład przekształcenia Kármána-Trefftza. Okrąg powyżej w -płaszczyźnie jest przekształcany na profil Kármána-Trefftza poniżej, w -płaszczyźnie. Użyto parametrów: i
Przekształcenie Kármána-Trefftza jest przekształceniem konforemnym ściśle związanym z przekształceniem Żukowskiego. Podczas gdy profil Żukowskiego ma szpiczastą krawędź spływu, profil Kármána-Trefftza – który jest obrazem przekształcenia okręgu z -płaszczyzny w fizycznej -płaszczyzny, analogicznie do definicji profilu Żukowskiego – ma niezerowy kąt w krawędzi spływu, między górną i dolną powierzchnią profilu. Przekształcenie Kármána-Trefftza wymaga zatem dodatkowego parametru: kąta w krawędzi spływu. Przekształcenie to wyraża się wzorem[5]:
gdzie parametr jest nieco mniejszy od 2. Kąt między stycznymi do górnej i dolnej powierzchni profilu w krawędzi spływu jest związany z następująco[5]:
Pochodna potrzebna do obliczenia pola prędkości, jest równa: