Gaz Fermiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Gaz Fermiego (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) – model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać, wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

gdzie:

– energia -tego stanu,
potencjał chemiczny.

Energia wewnętrzna gazu Fermiego[edytuj | edytuj kod]

Do dalszych obliczeń przyjmiemy

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

gdzie:

gęstość stanów,
– masa fermionów,
stała Plancka,
– objętość, w której znajdują się fermiony,
rozkład Fermiego-Diraca,
– czynnik Boltzmanna,

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 Ostatecznie otrzymujemy:

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

otrzymujemy:

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu Fermiego[edytuj | edytuj kod]

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

gdzie:

– liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]