Gaz Fermiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

gdzie

En – energia n-tego stanu
μpotencjał chemiczny

Energia wewnętrzna gazu Fermiego[edytuj | edytuj kod]

Do dalszych obliczeń przyjmiemy μ = 0.

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

gdzie

gęstość stanów
m – masa fermionów
hstała Plancka
V – objętość, w której znajdują się fermiony
rozkład Fermiego-Diraca
– czynnik Boltzmanna

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 . Ostatecznie otrzymujemy:

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

otrzymujemy:

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu Fermiego[edytuj | edytuj kod]

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

gdzie

n – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]