Gaz Fermiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Opis matematyczny[edytuj]

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

gdzie

En – energia n-tego stanu
μpotencjał chemiczny

Energia wewnętrzna gazu Fermiego[edytuj]

Do dalszych obliczeń przyjmiemy μ = 0.

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

gdzie

gęstość stanów
m – masa fermionów
hstała Plancka
V – objętość, w której znajdują się fermiony
rozkład Fermiego-Diraca
– czynnik Boltzmanna

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 . Ostatecznie otrzymujemy:

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

otrzymujemy:

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu Fermiego[edytuj]

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

gdzie

n – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd

Zobacz też[edytuj]