Funkcja η

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy funkcji specjalnej eta. Zobacz też: funkcja Dirichleta - funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych.

Funkcja eta Dirichletafunkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:

gdzie funkcja dzeta Riemanna.

Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:

Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:

Gdzie funkcja gamma Eulera

Własności funkcji η[edytuj]

Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą i część urojoną . Mają one własności:

gdzie oznacza sprzężenie zespolone liczby . Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.

Ponadto możemy zapisać granicę:

Wynika z tego bezpośrednio, że i , co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.

Wykresy funkcji η[edytuj]