Funkcja η

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy funkcji specjalnej eta. Zobacz też: funkcja Dirichleta - funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych.

Funkcja eta Dirichletafunkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowanej jako:

\eta(z)=\left(1-2^{1-z}\right)\zeta(z)

gdzie \zeta(z) - funkcja dzeta Riemanna.

Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:

\eta(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n-1}\over n^z}.

Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:

\eta(z)={1\over\Gamma(z)}\int\limits_0^{+\infty}{x^{z-1}\over\exp(x)+1}\,dx

Gdzie \Gamma(z)funkcja gamma Eulera

Własności funkcji η[edytuj | edytuj kod]

Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje - jej część rzeczywistą Re(\eta(z)) i część urojoną Im(\eta(z)). Mają one własności:

Re(\eta(z))=Re(\eta(z^*))
Im(\eta(z))=-Im(\eta(z^*))

gdzie z^* oznacza sprzężenie zespolone liczby z. Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.

Ponadto możemy zapisać granicę:

\lim_{Re(z)\to\infty}\eta(z)=1

Wynika z tego bezpośrednio, że \lim_{Re(z)\to\infty}Re(\eta(z))=1 i \lim_{Re(z)\to\infty}Im(\eta(z))=0, co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.

Wykresy funkcji η[edytuj | edytuj kod]