Funkcja η

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy funkcji specjalnej eta. Zobacz też: funkcja Dirichleta - funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych.

Funkcja eta Dirichletafunkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:

\eta(z)=\left(1-2^{1-z}\right)\zeta(z)

gdzie \zeta(z)funkcja dzeta Riemanna.

Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:

\eta(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n-1}\over n^z}.

Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:

\eta(z)={1\over\Gamma(z)}\int\limits_0^{+\infty}{x^{z-1}\over\exp(x)+1}\,dx

Gdzie \Gamma(z)funkcja gamma Eulera

Własności funkcji η[edytuj]

Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą \Re(\eta(z)) i część urojoną \Im(\eta(z)). Mają one własności:

\Re(\eta(z))=\Re(\eta(\overline{z}))
\Im(\eta(z))=-\Im(\eta(\overline{z}))

gdzie \overline{z} oznacza sprzężenie zespolone liczby z. Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.

Ponadto możemy zapisać granicę:

\lim_{\Re(z)\to\infty}\eta(z)=1

Wynika z tego bezpośrednio, że \lim_{\Re(z)\to\infty}\Re(\eta(z))=1 i \lim_{\Re(z)\to\infty}\Im(\eta(z))=0, co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.

Wykresy funkcji η[edytuj]