Operatory kreacji i anihilacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operatory kreacji i anihilacjioperatory liniowe wprowadzone przez Diraca do znalezienia rozwiązań równania Schrödingera dla oscylatora harmonicznego. Operatory te działają na stany własne Hamiltonianu oscylatora w ten sposób, że operator kreacji dodaje jeden kwant energii do układu drgającego, a operator anihilacji odejmuje jeden kwant; jeżeli zaś operator anihilacji działa na najniższy stan, w jakim może być oscylator, to w wyniku daje 0.

Proste uogólnienie tych operatorów pozwoliło na przedstawienie pól bozonowych i fermionowych jako stanów kwantowych (w tzw. procesie drugiej kwantyzacji), gdzie operatory kreacji i anihilacji działają w przestrzeni Foka (Focka) na stany wielocząstkowe, zwiększając lub zmniejszając liczby cząstek pola. Dzięki temu udało się opisać procesy kreacji i anihilacji cząstek (np. proces emisji promieniowania przez atomy, proces anihilacji pary elektron – pozyton), co było nie do opisu w tzw. mechanice kwantowej pierwszej kwantyzacji (opartej na równaniach Schrödingera, Pauliego czy Diraca), gdzie liczby cząstek były stałe.

Przykładem jest kwantyzacja pola elektromagnetycznego – kwantami tego pola są fotony, które są bozonami.

Operatory kreacji i anihilacji oscylatora harmonicznego[edytuj | edytuj kod]

Operatory kreacji i anihilacji pojawiły się w fizyce z chwilą prób rozwiązania metodą algebraiczną zagdnienie ruchu oscylatora kwantowego.

Definicja operatorów kreacji i anihilacji[edytuj | edytuj kod]

Operatory kreacji i anihilacji definiujemy następująco:

\hat{a} ^{\dagger} |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle
\hat a|0\rangle=0
\hat{a} |n \rangle = \sqrt{n}|n-1 \rangle dla n\ge1

gdzie \hat{a} ^{\dagger} – operator kreacji, \hat{a} – operator anihilacji.

Operator kreacji \hat{a}^{\dagger} transformuje stan |n\rangle oscylatora o energii E_n=\hbar\omega(1/2+n) do stanu |n+1\rangle o energii E_{n+1}=\hbar\omega(3/2+n)=E_n+\hbar\omega, czyli dodaje 1 kwant energii.

Operator anihilacji \hat{a} transformuje stan |n\rangle o energii E_n do stanu |n-1\rangle o energii E_{n-1}=E_n-\hbar\omega, czyli odejmuje 1 kwant energii lub zeruje funkcję falową, gdy działa na najniższy możliwy stan – stan |0\rangle.

Wyrażenie dowolnego stanu przez operator kreacji[edytuj | edytuj kod]

Dowolny stan |n\rangle można wyrazić za pomocą n-krotnego działania operatora kreacji na najniższy stan oscylatora |0\rangle:

|n\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^{n}|0\rangle

Własność tę wykorzystuje się w przedstawieniu pół kwantowych za pomocą uogólnionych operatorów kreacji (patrz drugi rozdział).

Działanie operatorów na stany sprzężone[edytuj | edytuj kod]

\langle n| \hat{a} = \langle n+1| \sqrt{n+1}
\langle n| \hat{a} ^{\dagger} = \langle n-1| \sqrt{n}

Reguły komutacji[edytuj | edytuj kod]

[\hat{a}, \hat{a}] = [\hat{a} ^{\dagger}, \hat{a}^\dagger] =0
[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}] = 1

gdzie:

[A,B] = AB - BA to komutator.

Operatory kreacji i anihilacji w kwantowaniu pól[edytuj | edytuj kod]

W klasycznej fizyce odróżnia się ciała materialne i pola fizyczne. Typowym przykładem pola jest pole elektromagnetyczne (lub pole grawitacyjne, jądrowe itp.). W kwantowej teorii pola wszystkie cząstki traktuje się jako pewne pola fizyczne, podobnie jak pole elektromagnetyczne czy grawitacyjne. Różnica jest taka, że w klasycznej fizyce uznawano, że pola mogą przyjmować dowolne energie. Eksperymenty pokazały jednak, że każda monochromatyczna fala elektromagnetyczna jest skwantowane, tzn. może mieć tylko skokowe wartości energii (np. zjawisko fotoelektryczne). Co do pola grawitacyjnego nie ma jasności na temat jego kwantowania. Podobnie, układ fizyczny złożony z tego samego rodzaju cząstek (np. elektronów, protonów) może występować wyłącznie w postaci zbioru zawierającego całkowitą nieujemną liczbę cząstek lub 0.

W opisie teoretycznym uwzględnia się tę własność dokonując tzw. drugiej kwantyzacji. Operatory kreacji i anihilacji pozwalają przedstawić pola fizyczne w postaci superpozycji stanów o różnych liczbach cząstek, działając w przestrzeni Foka (Focka) na stany wielocząstkowe:

  • \hat{a}^{\dagger} – operator kreacji transformuje stany z przestrzeni n cząstkowej do n + 1 cząstkowej,
  • \hat{a} – operator anihilacji transformuje stany z przestrzeni n cząstkowej do n – 1 cząstkowej lub zeruje funkcję falową – jeśli operator ten działał na stan próżni.

przy czym odróżnia się operatory bozonowe – działają na bozony oraz operatory fermionowe – działają na fermiony.

Reguły komutacyjne[edytuj | edytuj kod]

Istnieją dwie reguły definiujące operatory kreacji i anihilacji.

Reguła antykomutacyjna Jordana-WIgnera definiująca operatory dla fermionów:

\{\hat{a} _{i}, \hat{a} _{j}\} =\{\hat{a} ^{\dagger} _{i}, \hat{a} ^{\dagger} _{j}\}= 0
\{\hat{a} _{i}, \hat{a} _{j} ^{\dagger}\} = \delta _{ij}

gdzie:

\{A,B\} = AB + BA to tzw. antykomutator.

Reguła komutacyjnya Bosego definiująca operatory dla bozonów:

[\hat{a} _{i}, \hat{a} _{j}]= [\hat{a} ^{\dagger} _{i}, \hat{a} ^{\dagger} _{j}]=0
[\hat{a} _{i}, \hat{a} _{j} ^{\dagger}]= \delta _{ij}.

Wyrażenie dowolnego stanu pola przez operator kreacji[edytuj | edytuj kod]

Definiując zbiór operatorów kreacji i anihilacji, wraz z odpowiednimi relacjami komutacji (antykomutacji) i stanem próżni, otrzymujemy zbiór stanów wielocząstkowych. Stan o określonej liczbie cząstek |n_1,n_2,\ldots,\rangle otrzymuje się jako wynik działania operatorów kreacji (a^\dagger_1)^{n_1}\cdot(a^\dagger_2)^{n_2}
\cdots na stan próżni |0_1,0_2,\cdots\rangle w ten sposób że np.

|n_1\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^{n_1}|0\rangle, itd.,

przy czym jeżeli |n_1\rangle oznacza stan bozonowy, to w powyższym wzorze występuje operator kreujący bozony, gdy zaś jest to stan fermionowy – to mamy tam operator kreujący fermiony. Pełny obraz, jaki daje kwantowa teoria pola, uwzględnia dodatkowo, że operatory pola są scharakteryzowane przez spin, z jakim kreują cząstki.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • R.L. Liboff: Wstęp do mechaniki kwantowej. Warszawa: PWN, 1987, s. 164–180.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, and Frank Laloë, Quantum Mechanics, Vol. I, 1991. Wiley, New-York, ISBN 0-471-16433-X, s. 489-499.