Grupa alternująca
Grupa alternująca (rzadziej: grupa naprzemienna) – grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego[1].
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Grupą alternującą nazywamy jądro homomorfizmu danego wzorem
Dla grupy symetrycznej rzędu mówimy również o grupie alternującej stopnia . Grupę taką oznacza się symbolami lub
Przykłady i własności[edytuj | edytuj kod]
- Grupą alternującą stopnia 4 jest
- w szczególności grupa ta ma 12 elementów, lecz żaden z nich nie jest rzędu 4 – przykład ten pokazuje, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a jest (w ogólności) fałszywe.
- Dla grupa jest podgrupą normalną grupy symetrycznej o elementach.
- Grupa jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy jest grupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy lub [1].
- (rzędu 60) jest najmniejszą nierozwiązalną grupą i najmniejszą nieprzemienną grupą prostą.
- Podgrupa alternująca jest generowana przez wszystkie cykle długości 3 grupy symetrycznej
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ a b grupa prosta, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-03-12] .
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 43.