Grupa alternująca

Grupa alternująca (rzadziej: grupa naprzemienna) – grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego.

Definicja

Grupą alternującą nazywamy jądro homomorfizmu $f\colon S_{n}\to \{1,-1\}$ danego wzorem

$f(\sigma )={\begin{cases}1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest parzysta}}\\-1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest nieparzysta}}\end{cases}}.$

Dla grupy symetrycznej rzędu $n$ mówimy również o grupie alternującej stopnia $n$. Grupę taką oznacza się symbolami $A_{n}$ lub $\operatorname {Alt} (n).$

Przykłady i własności

• Grupą alternującą stopnia 4 jest

  $A_{4}=\{\operatorname {id} ,\;(123),\;(132),\;(124),\;(142),\;(134),\;(143),\;(234),\;(243),\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23)\};$

w szczególności grupa ta ma 12 elementów, lecz żaden z nich nie jest rzędu 4 – przykład ten pokazuje, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a jest (w ogólności) fałszywe.

• Dla $n>1,$ grupa $A_{n}$ jest podgrupą normalną grupy symetrycznej $S_{n}$ o ${\tfrac {n!}{2}}$ elementach.
• Grupa $A_{n}$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $n\leqslant 3;$ jest grupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy $n=3$ lub $n\geqslant 5$.
• $A_{5}$ (rzędu 60) jest najmniejszą nierozwiązalną grupą i najmniejszą nieprzemienną grupą prostą.
• Podgrupa alternująca $A_{n}$ jest generowana przez wszystkie cykle długości 3 grupy symetrycznej $S_{n}.$

Zobacz też

• grupa symetryczna
• podgrupa normalna
• silnia

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 43.