Grupa rozwiązalna
Grupa rozwiązalna – grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).
Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia:
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Grupa jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup
takich, że dla każdego są spełnione warunki:
- jest podgrupą normalną
- grupa ilorazowa jest abelowa.
Warunki równoważne
[edytuj | edytuj kod]Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:
- Grupa jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej liczby
gdzie oznacza -tą pochodną grupy Najmniejszą taką liczbę nazywa się stopniem rozwiązalności grupy
Jeżeli grupa jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy są grupami cyklicznymi rzędu będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera.
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.
- Jeśli i grupa jest rozwiązalna, to iloraz również jest grupą rozwiązalną.
- Jeżeli oraz grupy i są rozwiązalne, to również jest grupą rozwiązalną.
- Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną.
- Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Każda grupa abelowa jest rozwiązalna.
- Grupy nilpotentne i superrozwiązalne są rozwiązalne.
- p-grupy są rozwiązalne.
- Grupa permutacji Sn jest rozwiązalna dla i nie jest rozwiązalna dla
- Grupa alternująca jest nieabelową grupą rozwiązalną. gdzie oznacza czwórkową grupę Kleina. Grupa Kleina jest abelowa oraz ponadto skąd jest rozwiązalna.
- Nierozwiązalną grupą najmniejszego rzędu jest 60-elementowa grupa alternująca
- Każda nieabelowa grupa prosta nie jest rozwiązalna, ponieważ a w grupie prostej nie ma innych ciągów subnormalnych.
Twierdzenia
[edytuj | edytuj kod]- Twierdzenie Feita-Thompsona
- Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.
- Twierdzenie Burnside’a
- Każda grupa rzędu jest rozwiązalna, gdzie są liczbami pierwszymi, a – nieujemnymi liczbami całkowitymi.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Solvable group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].