Grupa rozwiązalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa rozwiązalnagrupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia: .

Definicja[edytuj]

Grupa jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup

,

takich, że dla każdego są spełnione warunki:

Warunki równoważne[edytuj]

Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:

Grupa jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej liczby ,

gdzie oznacza -tą pochodną grupy . Najmniejszą taką liczbę nazywa się stopniem rozwiązalności grupy .

Jeżeli grupa jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy grupami cyklicznymi rzędu, będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera.

Własności[edytuj]

  • Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.
  • Jeśli i grupa jest rozwiązalna, to iloraz również jest grupą rozwiązalną.
  • Jeżeli oraz grupy i są rozwiązalne, to również jest grupą rozwiązalną.
  • Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną.
  • Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.

Przykłady[edytuj]

  • Każda grupa abelowa jest rozwiązalna.
  • Grupy nilpotentne i superrozwiązalne są rozwiązalne.
  • p-grupy są rozwiązalne.
  • Grupa permutacji Sn jest rozwiązalna dla i nie jest rozwiązalna dla .
  • Grupa alternująca jest nieabelową grupą rozwiązalną. , gdzie oznacza czwórkową grupę Kleina. Grupa Kleina jest abelowa oraz , ponadto , skąd jest rozwiązalna.
  • Nierozwiązalną grupą najmniejszego rzędu jest 60-elementowa grupa alternująca .
  • Każda nieabelowa grupa prosta nie jest rozwiązalna, ponieważ , a w grupie prostej nie ma innych ciągów subnormalnych.

Twierdzenia[edytuj]

Twierdzenie Feita-Thompsona 
Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.
Twierdzenie Burnside'a 
Każda grupa rzędu jest rozwiązalna, gdzie są liczbami pierwszymi, a – nieujemnymi liczbami całkowitymi.

Bibliografia[edytuj]

  1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.