Przejdź do zawartości

Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Lagrange’atwierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, tzn. zachodzi równość

gdzie oznacza indeks podgrupy w zaś odpowiednio rząd grupy i podgrupy[1][2].

Wynik nosi nazwisko Josepha Louisa Lagrange’a.

Dowód

[edytuj | edytuj kod]
 Zobacz też: warstwa § Własności.

Niech będzie grupą skończoną. Zbiór warstw lewostronnych grupy względem podgrupy stanowi rozbicie zbioru na równolicznych ze zbiorem zbiorów:

W ten sposób

a skoro poszczególne warstwy są rozłączne, to

przy czym wszystkie warstwy są równoliczne z co oznacza, że

zatem

Wnioski i uwagi

[edytuj | edytuj kod]
  • Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy (wynika to wprost z definicji rzędu). W szczególności, dla dowolnego elementu danej grupy prawdziwa jest równość gdzie jest elementem neutralnym grupy, a oznacza jej rząd.
  • Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną.
  • Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a nie jest prawdziwe, tzn. nie gwarantuje, że dla każdego dzielnika rzędu grupy istnieje podgrupa, której rząd jest równy danemu dzielnikowi.
Najmniejszym przykładem jest grupa alternująca Choć dzielnikami rzędu grupy to grupa zawiera jako podgrupy wyłącznie: -elementową grupę trywialną, trzy -elementowe i cztery -elementowe grupy cykliczne, -elementową grupę niecykliczną oraz -elementową grupę niewłaściwą; w szczególności nie ma podgrupy -elementowej.
Częściowym rozwiązaniem problemu istnienia podgrup danego rzędu są twierdzenie Cauchy’ego oraz twierdzenia Sylowa. W ogólności nie ma prostego sposobu na podział grup skończonych na te, które spełniają twierdzenie odwrotne i te, które go nie spełniają. Można jednak wyróżnić trzy klasy grup skończonych, które spełniają twierdzenie odwrotne: grupy abelowe, grupy diedralne i grupy pierwsze (są one przypadkami szczególnymi grup superrozwiązalnych, dla których twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a zachodzi).

Uogólnienia

[edytuj | edytuj kod]
Twierdzenie
Jeżeli jest skończona oraz to zachodzi
Dowód
Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że
oraz
skąd

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Twierdzenie 13.8. W: Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004, s. 265–266. ISBN 978-83-89020-35-2.
  2. Twierdzenie 4.8. W: Andrzej Białynicki-Birula: Algebra. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 232. ISBN 978-83-01-15817-0.