Hipoteza Kurepy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hipoteza Kurepy (ozn. KH od ang. the Kurepa Hypothesis) – zdanie teorii mnogości postulujące istnienie obiektów nazywanych drzewami Kurepy; jest ono niezależne od standardowych aksjomatów ZFC (nie można go udowodnić ani obalić na gruncie tych aksjomatów).

Definicje[edytuj]

Drzewo to porządek częściowy o własności: dla każdego zbiór jest dobrze uporządkowany (przez relację ). Niech będzie drzewem. Wysokością elementu w drzewie nazywa się typ porządkowy zbioru Dla każdej liczby porządkowej definiuje się -ty poziom drzewa jako zbiór

Drzewo spełniające

  • dla każdej przeliczalnej liczby ale

oraz

nazywa się -drzewem.

Jeżeli jest -drzewem, to łańcuch nazywa się gałęzią w drzewie jeśli

Drzewo Kurepy to -drzewo w którym istnieją przynajmniej gałęzie. Hipotezą Kurepy (ozn. KH) nazywa się zdanie stwierdzające „istnieje drzewo Kurepy”.

Własności[edytuj]

  • Wzmocnienie diamentu Jensena implikuje KH. Zatem hipoteza Kurepy jest spełniona w uniwersum konstruowalnym L.
  • Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to pewne pojęcie forsingu forsuje ¬KH (przeczenie KH). Zatem, jeśli niesprzeczna jest teoria ZFC + „istnieje liczba nieosiągalna”, to niesprzeczne jest również ZFC + ¬KH.
  • Powyżej liczba nieosiągalna jest niezbędna, gdyż ¬KH pociąga nieosiągalność w L.

Zobacz też[edytuj]