Hipoteza Kurepy
Ten artykuł od 2012-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Hipoteza Kurepy, KH (od ang. Kurepa hypothesis) – zdanie teorii mnogości postulujące istnienie obiektów nazywanych drzewami Kurepy. Jest ono niezależne od standardowych aksjomatów ZFC (nie można go udowodnić ani obalić na gruncie tych aksjomatów).
Definicje[edytuj | edytuj kod]
Drzewo to częściowy porządek o własności: dla każdego zbiór jest dobrze uporządkowany (przez relację ). Niech będzie drzewem. Wysokością elementu w drzewie nazywa się typ porządkowy zbioru Dla każdej liczby porządkowej definiuje się -ty poziom drzewa jako zbiór
Drzewo spełniające
- dla każdej przeliczalnej liczby ale
oraz
nazywa się drzewem
Jeżeli jest drzewem to łańcuch nazywa się gałęzią w drzewie jeśli
Drzewo Kurepy to drzewo w którym istnieją przynajmniej gałęzie Hipotezą Kurepy nazywa się zdanie stwierdzające, że „istnieje drzewo Kurepy”.
Własności[edytuj | edytuj kod]
- Wzmocnienie diamentu Jensena implikuje KH. Zatem hipoteza Kurepy jest spełniona w uniwersum konstruowalnym L.
- Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to pewne pojęcie forsingu forsuje ¬KH (negacja KH). Zatem jeśli niesprzeczna jest teoria ZFC + „istnieje liczba nieosiągalna”, to niesprzeczne jest również ZFC + ¬KH.
- Powyżej liczba nieosiągalna jest niezbędna, gdyż ¬KH pociąga nieosiągalność w L.