Hipoteza Kurepy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hipoteza Kurepy, KH (od ang. Kurepa hypothesis) – zdanie teorii mnogości postulujące istnienie obiektów nazywanych drzewami Kurepy. Jest ono niezależne od standardowych aksjomatów ZFC (nie można go udowodnić ani obalić na gruncie tych aksjomatów).

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Drzewo to częściowy porządek o własności: dla każdego zbiór jest dobrze uporządkowany (przez relację ). Niech będzie drzewem. Wysokością elementu w drzewie nazywa się typ porządkowy zbioru Dla każdej liczby porządkowej definiuje się -ty poziom drzewa jako zbiór

Drzewo spełniające

  • dla każdej przeliczalnej liczby ale

oraz

nazywa się drzewem .

Jeżeli jest drzewem , to łańcuch nazywa się gałęzią w drzewie , jeśli

Drzewo Kurepy to drzewo , w którym istnieją przynajmniej gałęzie . Hipotezą Kurepy nazywa się zdanie stwierdzające, że „istnieje drzewo Kurepy”.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Wzmocnienie diamentu Jensena implikuje KH. Zatem hipoteza Kurepy jest spełniona w uniwersum konstruowalnym L.
  • Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to pewne pojęcie forsingu forsuje ¬KH (negacja KH). Zatem, jeśli niesprzeczna jest teoria ZFC + „istnieje liczba nieosiągalna”, to niesprzeczne jest również ZFC + ¬KH.
  • Powyżej liczba nieosiągalna jest niezbędna, gdyż ¬KH pociąga nieosiągalność w L.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]