Negacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Negacja (inaczej zaprzeczenie, ¬) – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem. W rachunku zdań negacja zapisywana jest jako: (także lub ). Negację można zdefiniować ściślej jako jednoargumentowe działanie (funktor zdaniotwórczy) określone w zbiorze zdań, które każdemu zdaniu p przyporządkowuje zdanie nie p[1][2]. Inne przyjęte sposoby odczytywania zdania to nieprawda, że p[3] i nie jest tak, że p[4].

Definicja[edytuj]

Niech będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: . Negacja jest funkcją ze zbioru w zbiór [a], określoną następująco:

[5],

czyli

[6].

Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe[6][2][7].

Tablica prawdy dla negacji[2]:
0 1
1 0

gdzie:

1 – prawda (lub zdanie prawdziwe)
0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

Notacja[edytuj]

Zestawienie symboli negacji, używanych przez różnych autorów[8][9]:

Schröder
Peirce
Peano
Russell
Hilbert Łukasiewicz
Negacja

Do oznaczenia negacji stosowana jest także angielska partykuła NOT (funkcja boolowska).

Własności[edytuj]

W klasycznym rachunku zdań poniższe własności są tautologiami (zdaniami zawsze prawdziwymi, bez względu na wartości logiczne zdań składowych).

Prawo podwójnego przeczenia[edytuj]

Złożenie dwóch negacji daje w wyniku przekształcenie identycznościowe:

[10],

gdzie jest znakiem równoważności (oznacza: wtedy i tylko wtedy, gdy).

Quote-alpha.png
Podwójne przeczenie się znosi, lub po łacinie: duplex negatio affirmat, tzn. podwójne przeczenie, to tyle co twierdzenie[11].

Przykład:

  • Niech zdanie oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
  • Wówczas ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
  • Natomiast można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zadniu ).

Prawo wyłączonego środka[edytuj]

Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe[11]:

[10][12],

gdzie jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).

Przykład:

  • Niech zdanie ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
  • Wówczas to Jutro nie będzie padał deszcz.
  • Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
  • Ich alternatywa (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.

Zasada niesprzeczności[edytuj]

Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności[11]) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe[13] (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe[12]):

[13][12],

gdzie jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik 'i').

Przykład:

  • Niech będzie zdaniem Mam ciastko.
  • Wówczas ma postać: Nie mam ciastka.
  • Ich koniunkcja to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
  • Zaprzeczenie tej koniunkcji (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.

Zobacz też[edytuj]


Uwagi[edytuj]

  1. Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że negacja jest działaniem w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych (stąd nazwa: funktor zdaniotwórczy).

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
  2. Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975. OCLC 749328557.
  3. Andrzej Mostowski: Logika matematyczna : kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
  4. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  5. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
  6. Jerzy Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna. Wyd. 2. popr. i uzup. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-12958-1.

Linki zewnętrzne[edytuj]