Liczba nieosiągalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami dużych liczb kardynalnych.

Istnieją pewne niekonsekwencje w terminologii dotyczącej liczb nieosiągalnych. Niektórzy autorzy używają nazwy liczby słabo nieosiągalne na oznaczenie granicznych liczb regularnych rezerwując nazwę liczba nieosiągalna dla silnie granicznych regularnych liczb kardynalnych.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

  • Liczba porządkowa jest początkową liczbą porządkową jeśli nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe są też nazywane liczbami kardynalnymi.
  • Dla liczby kardynalnej określamy:
jest pierwszą liczbą kardynalną większą od (jest to tzw. następnik ),
jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów
  • Liczba kardynalna jest regularną liczbą kardynalną jeśli dla każdej rodziny zbiorów takich że dla wszystkich oraz mamy, że
  • Liczba kardynalna jest graniczną liczbą kardynalną jeśli jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej mamy Powiemy, że jest silnie graniczną liczbą kardynalną, jeśli jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej mamy

Nieprzeliczalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczna i regularna, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną, jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Definicja liczb nieosiągalnych jest sformułowana dla liczb nieprzeliczalnych tylko, aby wyeliminować trochę patologiczny przypadek pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej która jest regularna i silnie graniczna. Podobieństwo liczb nieosiągalnych do liczby jest czasami wyrażane w stwierdzeniu, że liczby nieosiągalne mają się do liczb mniejszych tak jak ma się do liczb skończonych.
  • Jeśli jest liczbą nieosiągalną, to
  • Jeśli jest liczbą silnie nieosiągalną, to
  • Jeśli GCH jest spełnione, to każda liczba (słabo) nieosiągalna jest silnie nieosiągalna.
  • W ZFC, jeśli jest liczbą silnie nieosiągalną, to Vκ jest modelem ZFC. Zakładając ZF, jeśli jest liczbą (słabo) nieosiągalną, to Lκ jest modelem ZFC. Zatem „ZF+ istnieje liczba nieosiągalna” implikuje, że „ZFC jest niesprzeczne”. Na mocy drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby nieosiągalne.
  • Jeśli istnieją liczby nieosiągalne i jest pierwszą taką liczbą, to Lκ jest modelem dla „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne”. Zatem jeśli teoria ZFC jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne” jest niesprzeczna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]