Liczba nieosiągalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami tzw. dużych liczb kardynalnych.

Istnieją pewne niekonsekwencje w terminologii dotyczącej liczb nieosiągalnych. Niektórzy autorzy używają nazwy liczby słabo nieosiągalne na oznaczenie granicznych liczb regularnych rezerwując nazwę liczba nieosiągalna dla silnie granicznych regularnych liczb kardynalnych.

Definicje[edytuj]

  • Liczba porządkowa jest początkową liczbą porządkową jeśli nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe są też nazywane liczbami kardynalnymi.
  • Dla liczby kardynalnej określamy:
jest pierwszą liczbą kardynalną większą od (jest to tzw następnik ),
jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów .
  • Liczba kardynalna jest regularną liczbą kardynalną jeśli dla każdej rodziny zbiorów takich że dla wszystkich oraz mamy, że .
  • Liczba kardynalna jest graniczną liczbą kardynalną jeśli jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej mamy . Powiemy, że jest silnie graniczną liczbą kardynalną jeśli jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej mamy .

Nieprzeliczalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczna i regularna, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.

Własności i przykłady[edytuj]

  • Definicja liczb nieosiągalnych jest sformułowana dla liczb nieprzeliczalnych tylko, aby wyeliminować trochę patologiczny przypadek pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej , która jest regularna i silnie graniczna. Podobieństwo liczb nieosiągalnych do liczby jest czasami wyrażane w stwierdzeniu, że liczby nieosiągalne mają się do liczb mniejszych tak jak ma się do liczb skończonych.
  • Jeśli jest liczbą nieosiągalną, to .
  • Jeśli jest liczbą silnie nieosiągalną, to .
  • Jeśli GCH jest spełnione, to każda liczba (słabo) nieosiągalna jest silnie nieosiągalna.
  • W ZFC, jeśli jest liczbą silnie nieosiągalną, to Vκ jest modelem ZFC. Zakładając ZF, jeśli jest liczbą (słabo) nieosiągalną, to Lκ jest modelem ZFC. Zatem "ZF+ istnieje liczba nieosiągalna" implikuje, że "ZFC jest niesprzeczne". Na mocy drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności, nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby nieosiągalne.
  • Jeśli istnieją liczby nieosiągalne i jest pierwszą taką liczbą, to Lκ jest modelem dla "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne". Zatem jeśli teoria ZFC jest niesprzeczna, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne" jest niesprzeczna.

Zobacz też[edytuj]