Kategoria Lusternika-Sznirelmanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rys historyczny[edytuj]

Kategoria Lusternika-Sznirelmanna została zdefiniowana na początku lat trzydziestych XX wieku przez dwóch matematyków rosyjskich: Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana. Posłużyła im ona do udowodnienia słynnego twierdzenie Lusternika-Sznirelmanna, szacującego z dołu liczbę punktów krytycznych rzeczywistych funkcji gładkich określonych na gładkich rozmaitościach.

Definicja[edytuj]

Kategorią Lusternika-Sznirelmanna zbioru w przestrzeni topologicznej nazywamy najmniejszą taką liczbę naturalną (o ile istnieje), że:

gdzie każdy zbiór jest otwarty i ściągalny w . Stosujemy przy tym oznaczenie

Jeśli takie nie istnieje, to przyjmujemy .

Ponadto oznaczamy i nazywamy po prostu kategorią przestrzeni .

Pokrycie nazywamy wtedy kategoryjnym.

Kategoria Lusternika-Sznirelmanna została pierwotne zdefiniowana przy pomocy zbiorów domkniętych, a nie otwartych, ale jak się okaże obie kategorie są równe dla dosyć sporej klasy przestrzeni topologicznych.

Podstawowe własności[edytuj]

Wprost z definicji kategorii wynika, że ma ona następujące własności:

  • wtedy i tylko wtedy, gdy jest ściągalny w ;
  • wtedy i tylko wtedy, gdy jest ściągalna;
  • jeśli , to ;
  • ;
  • , o ile są otwarte w ;
  • jeśli jest homeomorfizmem, to ;

dla .

Przykłady[edytuj]

dla każdego , gdyż sfery nie są ściągalne, a każdą można przedstawić w postaci sumy , gdzie .

W podobny bardzo łatwy sposób można pokazać, że bukiet dowolnej ilości sfer, z których każda ma wymiar dodatni całkowity ma kategorię równą 1.

Powyższe rozważania można uogólnić na produkt złączony szerszej klasy przestrzeni topologicznych. Mianowicie jeśli oraz są normalnymi, łukowo spójnym przestrzeniami z niezdegenerowanymi punktami bazowymi, to:

.

, gdzie oznacza n-wymiarowy torus. W jedną stronę jest to trywialne. Niech będą różnymi punktami sfery . Wtedy

,

a każdy z tych zbiorów jest ściągalny jako homeomorficzny z , co daje nierówność .

Przykładem przestrzeni mającej nieskończoną kategorię jest dowolna nieskończona przestrzeń dyskretna. Natomiast mogą istnieć przestrzenie, których kategoria jest nieskończona bo nie mają one otwartego pokrycia zbiorami ściągalnymi. Przykładem takiej przestrzeni jest pawie oczko, tj. suma okręgów stycznych wewnętrznie w punkcie o promieniach równych dla . Wtedy każdy zbiór otwarty zawierający punkt nie może być ściągalny, gdyż zawiera nieskończenie wiele wspomnianych okręgów.

Ponadto mamy:

.

Homotopijna niezmienniczość[edytuj]

Kategoria Lusternika-Szniremanna jest niezmiennikiem homotopijnym co wynika wprost z następującego twierdzenia:

Jeśli przestrzeń topologiczna homotopijnie dominuje nad , to .

Dowód:

Niech będzie pokryciem kategoryjnym przestrzeni X. Skoro X dominuje nad Y, to istnieją takie odwzorowania ciągłe oraz , że . Zbiory są ściągalne w X dla zatem dla każdego i istnieje homotopia

taka, że oraz dla pewnego . Niech teraz dla . Zbiory są otwarte w Y oraz . Wystarczy więc pokazać, że są one ściągalne w Y. Ponieważ , to istnieje homotopia

taka, że oraz dla każdego . Zdefiniujmy teraz dla każdego funkcję następująco

Funkcja ta jest ciągła oraz zauważmy, że i dla każdego oraz . Tak więc funkcje ustalają ściągnięcie w , zatem jest otwartym pokryciem przestrzeni Y zbiorami ściągalnymi w Y. Z tego mamy, że .

Rzeczy przydatne do obliczania[edytuj]

Jedną z podstawowych technik służącą do obliczania kategorii jest stosowanie tzw. ciągów kategoryjnych tj. ciąg otwartych podzbiorów przestrzeni X nazywamy kategoryjnym długości dla zbioru otwartego , jeśli:

1) ,

2)

3) zbiory są zawarte w pewnych otwartych i ściągalnych w zbiorach.

Zachodzi przy tym twierdzenie:

Jeśli jest łukowo spójna oraz jest otwarty, to zbiór U posiada otwarty ciąg kategoryjny w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy .

Często przy obliczaniu kategorii przydatne są grupy kohomologii singularnych danej przestrzeni. Wykorzystuje się tzw. długość kohomoligczną przestrzeni topologcznej, którą definiujemy jako największą liczbę naturalną taką, że istnieją takie, że:

. I stosujemy oznaczenie .

Mamy przy tym twierdzenie:

Dla dowolnego pieścienia przemiennego z jedynką P zachodzi .

Stąd przykładowo natychmiast otrzymujemy oszacowanie z dołu kategorii n-wymiarowego torusa.

Związki z wymiarem oraz iloczynem[edytuj]

Niektóre związki kategorii z wymiarem oraz iloczynem kartezjańskim można zawrzeć w następującach twierdzeniach:

Jeśli są łukowo spójne oraz takie, że jest T_5 (tj. każda podprzestrzeń jest normalna), to .

Jeśli jest łukowo spójną, ośrodkową przestrzenią metryczną oraz , to

.

Analogiczne twierdzenie zachodzi jeśli X jest łukowo spójna oraz parazwarta.

Zastosowania[edytuj]

Kategoria Lusternika-Sznirelmanna ma zastosowania w topologii algebraicznej, różniczkowej oraz w geometrii różniczkowej. Jest stosowana m.in. przy badaniu geodezyjnych zamkniętych. Jednak jej chyba najważniejszym zastosowaniem jest szacowanie z dołu ilości punktów krytycznych na gładkich i zwartych rozmaitościach. Mianowicie jeśli M jest gładką i zwartą rozmaitością, a funkcją klasy , to

gdzie oznacza zbiór punktów krytycznych funkcji .

Pewne modyfikacje[edytuj]

Kategoria domknięta[edytuj]

Jak zostało wspomniane na początku kategoria Lusternika-Sznirelmanna została pierwotnie zdefiniowana przy pomocy zbiorów domkniętych, a nie otwartych. Jeżeli w definicji kategorii zbiory otwarte zamienimy na domknięte, to otrzymamy definicję kategorii domkniętej, którą oznaczamy

Podobnie jak w przypadku zwykłej kategorii także domknięta jest niezmiennkiem homotopijnym (dowód jest analogiczny).

Ponadto dla normalnych absolutnych retraktów otoczeniowych obie kategorie są równe. A więc i dla przestrzeni mających typ homotopii ANR-a (w szczególności dla CW-kompleksów).

Kategoria geometryczna[edytuj]

W definicji kategorii o zbiorach otwartych zakładamy, że są one ściągalne w przestrzeni w której liczymy kategorię. Można się zastanawiać dlaczego by nie rozważać definicji, w której o zbiorach będziemy zakładać, że są ściągalne w sobie.Taką kategorię nazywamy geometryczną i oznaczamy .

Jednak taka kategoria ma dużą wadę, mianowicie nie jest niezmennikiem homotopijnym. Jako przykład przyjmijmy , a za Y sferę ze zidentyfikowanymi trzema różnymi punktami. Oczywiście obie przestrzenie są homotopijnie równoważne, lecz , podczas gdy .

Bibliografia[edytuj]