Macierze γ, macierze Diraca – zbiór czterech macierzy zespolonych
stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.
Macierze gamma ![{\displaystyle \gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e010c67c6e9350a31a28835cb962324a18410c)
[edytuj | edytuj kod]
Macierze
są zdefiniowane za pomocą 16 równań
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\left(\gamma ^{0}\right)^{2}&=I\\\gamma ^{i}\gamma ^{0}+\gamma ^{0}\gamma ^{i}=\left\{\gamma ^{i},\gamma ^{0}\right\}&=0\\\gamma ^{i}\gamma ^{j}+\gamma ^{j}\gamma ^{i}=\left\{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\right\}&=2g^{ij}I\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7d7e68ab33a064d744a8e430332e23d6507cfc)
gdzie:
= ![{\displaystyle 1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5fbdaf4e450f3413cfbe25ca0f24e15e6dc6ead)
– element
tensora metrycznego
czasoprzestrzeni
(przy czym np.
)
– macierz jednostkowa 4 × 4
– antykomutator A i B[1].
Powyższe warunki można zapisać w równoważnej formie:
![{\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f17b24d9a80a64f02a23fb61ccec5984b89f0a)
gdzie:
![{\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5872512ea23b5259af0be3c3527f661fb83b6188)
Warunki określające macierze gamma wyprowadza się żądając m.in., by równanie Diraca spełniało jednocześnie równanie Kleina-Gordona. Warunki te nie definiują konkretnej postaci macierzy
– każda reprezentacja spełniająca je jest dobra.
Powyższe macierze zapisane są z górnymi wskaźnikami. Nazywa się je kontrawariantnymi macierzami gamma.
Macierze ![{\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22edd4a9d420b4e8f42df80f8a07562442b6041d)
[edytuj | edytuj kod]
Kowariantne macierze gamma są zdefiniowane następująco:
![{\displaystyle \gamma _{\mu }=g_{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a1e8f53edb70f3c3c4b48fe8141e6ccb431a21)
- gdzie
![{\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2fa92149f5213ffd513f5a235094405acffcff)
i sumacyjna reguła Einsteina jest tu założona.
Najpopularniejszymi reprezentacjami są:
Zaproponowana przez Wolfganga Pauliego i Paula Diraca – macierze γ wyrażają się tu przez macierze Pauliego:
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5b37dae23408e860ed3ed3d2b8f845f4354210)
![{\displaystyle \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e317c313b4c14a9a17c4d1e2661dffda96ed0ae)
gdzie
oznacza tu macierz jednostkową 2 × 2[2]. Uwzględniając postacie macierzy Pauliego otrzymamy:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\quad &\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\quad &\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc7e72faf395ea30b4e612fc57665e5f5aa6fa2)
Macierz
jest zawsze macierzą hermitowską. Macierze
w tej reprezentacji są macierzami antyhermitowskimi, lecz nie jest tak w każdej reprezentacji.
Stosowana często w kwantowej teorii pola ze względu na wygodną postać operatorów rzutu na składowe spinora w tej reprezentacji[3]:
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4e91a8549efb6b6b3d064b0f6212cdacc40605)
![{\displaystyle \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bff74b1aef255c9a1ade70ba87caf0c21c8cf5)
Macierz γ5 jest zdefiniowana jako
![{\displaystyle \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5329017b108680d7cd8103d1b28efb7f3005e739)
gdzie
oznacza jednostkę urojoną; macierz ta ma różną postać w zależności od reprezentacji. Np.
w reprezentacji Diraca.
Właściwości:
- jest to macierz hermitowska, tj.
![{\displaystyle (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56defb6aa3ebac4b2c741cd1dc1d39cb5a8bf71b)
- jej wartości własne są równe
gdyż
![{\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352a8c62a715966bd240520495dafdab42595853)
- antykomutuje z czterema macierzami gamma, tj.
![{\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1188a69bc1dd00bf17c42457721d095e8644b03c)
Pomimo że używa się tu symbolu gamma, macierz ta nie należy do algebry Clifforda Cℓ1,3(R) – zaś macierze
należą do tej algebry. Ponadto liczba 5 użyta w jej oznaczeniu jest pozostałością starszej notacji, w której macierz
oznaczano jako
Równanie Diraca można przekształcić do postaci analogicznej do równania Schrödingera, wprowadzając macierze
![{\displaystyle \alpha ^{i}=\gamma ^{0}\gamma ^{i},\qquad {\text{dla}}\;\;i=1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad47d089b7822b8f04b1e6c0b43863f17157d0b)
![{\displaystyle \beta =\gamma ^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11a7c936b9ca0dd3ba8ad806a26715ae9b9aac0)
Zachodzi też analogiczna odwrotna zależność:
![{\displaystyle \gamma ^{i}=\gamma ^{0}\alpha ^{i}\qquad {\text{dla}}\;\;i=1,2,3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df703eee409e68a42d695640ce4e89bd7508159e)
W reprezentacji Diraca macierze te mają postać
![{\displaystyle \alpha ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48279b97548abe3607057ff90d23a6a42735840f)
![{\displaystyle \beta ={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cb77bdf5a7bc7ffd319273b95fc39d50e8260e)
Macierze alfa, beta Diraca są macierzami hermitowskimi.
- ↑ David Grifiths: Introduction to Elementary Particles. New York: John Wiley & sons, Inc., 1987, s. 215–216. ISBN 0-471-60386-4.
- ↑ James D. Bjorken, Sidney D. Drell: Relativistic Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill, 1964, s. 282. OCLC 534560.
- ↑ Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An introduction to Quantum Field Theory. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1995, s. 41. ISBN 978-0-201-50397-5.