Macierze gamma

Macierze γ, macierze Diraca – zbiór czterech macierzy zespolonych $4\times 4,$ $\left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\},$ stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.

Macierze gamma $\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}$

Macierze $\gamma$ są zdefiniowane za pomocą 16 równań

$\left\{{\begin{aligned}\left(\gamma ^{0}\right)^{2}&=I\\\gamma ^{i}\gamma ^{0}+\gamma ^{0}\gamma ^{i}=\left\{\gamma ^{i},\gamma ^{0}\right\}&=0\\\gamma ^{i}\gamma ^{j}+\gamma ^{j}\gamma ^{i}=\left\{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\right\}&=2g^{ij}I\end{aligned}}\right.$

gdzie:

$i,$ $j$ = $1,2,3$

$g^{ij}$ – element $ij$ tensora metrycznego $g$ czasoprzestrzeni $g={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$ (przy czym np. $g^{00}=1$)

$I$ – macierz jednostkowa 4 × 4

$\left\{A,B\right\}$ – antykomutator A i B.

Powyższe warunki można zapisać w równoważnej formie:

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I,$

gdzie:

$\mu ,\nu =0,1,2,3.$

Warunki określające macierze gamma wyprowadza się żądając m.in., by równanie Diraca spełniało jednocześnie równanie Kleina-Gordona. Warunki te nie definiują konkretnej postaci macierzy $\gamma$ – każda reprezentacja spełniająca je jest dobra.

Powyższe macierze zapisane są z górnymi wskaźnikami. Nazywa się je kontrawariantnymi macierzami gamma.

Macierze $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}$

Kowariantne macierze gamma są zdefiniowane następująco:

$\gamma _{\mu }=g_{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\},$

gdzie $\mu ,\nu =0,1,2,3$

i sumacyjna reguła Einsteina jest tu założona.

Reprezentacje macierzy gamma

Najpopularniejszymi reprezentacjami są:

Reprezentacja Pauliego-Diraca

Zaproponowana przez Wolfganga Pauliego i Paula Diraca – macierze γ wyrażają się tu przez macierze Pauliego:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},$

$\gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},$

gdzie $I$ oznacza tu macierz jednostkową 2 × 2. Uwzględniając postacie macierzy Pauliego otrzymamy:

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\quad &\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\quad &\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Macierz $\gamma _{0}$ jest zawsze macierzą hermitowską. Macierze $\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}$ w tej reprezentacji są macierzami antyhermitowskimi, lecz nie jest tak w każdej reprezentacji.

Reprezentacja Weyla (chiralna)

Stosowana często w kwantowej teorii pola ze względu na wygodną postać operatorów rzutu na składowe spinora w tej reprezentacji:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},$

$\gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}.$

Macierz γ⁵

Macierz γ⁵ jest zdefiniowana jako

$\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3},$

gdzie $i$ oznacza jednostkę urojoną; macierz ta ma różną postać w zależności od reprezentacji. Np.

$\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ w reprezentacji Diraca.

Właściwości:

• jest to macierz hermitowska, tj.

  $(\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5},$

• jej wartości własne są równe $\pm 1,$ gdyż

  $(\gamma ^{5})^{2}=I$

• antykomutuje z czterema macierzami gamma, tj.

  $\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.$

Pomimo że używa się tu symbolu gamma, macierz ta nie należy do algebry Clifforda Cℓ_1,3(R) – zaś macierze $\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}$ należą do tej algebry. Ponadto liczba 5 użyta w jej oznaczeniu jest pozostałością starszej notacji, w której macierz $\gamma ^{0}$ oznaczano jako $\gamma ^{4}.$

Macierze alfa, beta Diraca

Równanie Diraca można przekształcić do postaci analogicznej do równania Schrödingera, wprowadzając macierze

$\alpha ^{i}=\gamma ^{0}\gamma ^{i},\qquad {\text{dla}}\;\;i=1,2,3$

$\beta =\gamma ^{0}.$

Zachodzi też analogiczna odwrotna zależność:

$\gamma ^{i}=\gamma ^{0}\alpha ^{i}\qquad {\text{dla}}\;\;i=1,2,3.$

W reprezentacji Diraca macierze te mają postać

$\alpha ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},$

$\beta ={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}.$

Macierze alfa, beta Diraca są macierzami hermitowskimi.

Zobacz też

• macierze Pauliego
• równanie Diraca

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dirac Matrices, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2016-06-05]  (ang.).