Równanie Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Diraca – podstawowe równanie w relatywistycznej mechanice kwantowej, sformułowane przez angielskiego fizyka Paula Diraca w 1928 roku, słuszne dla cząstek relatywistycznych o spinie 1/2 (fermiony). Odpowiada równaniu Schrödingera w nierelatywistycznej mechanice kwantowej. Przewiduje istnienie antycząstek.

W zapisie relatywistycznie niezmienniczym równanie Diraca dla cząstki swobodnej ma postać:

gdzie:

- współrzędne punktu w czasoprzestrzeni,
to czterogradient.

Macierze gamma [edytuj]

Obiekty zwane macierzami gamma są to macierze zespolone 4 x 4; macierze te są tak dobrane, by spełnione było także równanie Kleina-Gordona. Narzuca to regułę antykomutacyjną w postaci:

gdzie:

jest antykomutatorem.

Jest bardzo wiele sposobów wyboru tych macierzy, np. reprezentacja Pauliego-Diraca ma postać:

(i=1,2,3) są macierzami Pauliego, zaś jest macierzą jednostkową 2 x 2.

Funkcja falowa [edytuj]

Obiekt nazywany bispinorem Diraca jest funkcją falową o 4 zespolonych składowych, które zapisuje się w postaci kolumny

przy czym jest położeniem cząstki w czasoprzestrzeni. Nazwa bi-spinor oznacza podwójny spinor. Spinor występuje w równaniu Pauliego, gdzie jest funkcją falową o 2 składnikach, opisujących 2 składowe spinowe (w równaniu Schrödingera funkcja falowa jest 1-składnikowa).

Interpretacja składowych bispinora jest następująca: jeżeli pęd jest skierowany w kierunku osi z, to dwie górne składowe bispinora są funkcjami falowymi cząstki, przy czym jedna z nich opisuje składową spinu w kierunku zgodnym z wektorem zewnętrznego pola magnetycznego, a druga w kierunku przeciwnym. Dwie dolne składowe odpowiadają analogicznym stanom spinowym antycząstki. Dla innego skierowania pędu interpretacja taka nie jest jednak właściwa.[1] s. 221

Gęstość prawdopodobieństwa w teorii Diraca jest zdefiniowana jako:

gdzie: oznacza sprzężenie hermitowskie. Wielkość oznacza prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w położeniu .

Prócz bispinorów i występuje trzeci rodzaj bispinora postaci:

Równanie Diraca a równanie Schrödingera[edytuj]

Równania Schrödingera ma postać

gdzie:

jest operatorem Hamiltona zależnym tylko od współrzędnych przestrzennych, zaś po prawej stronie równania występuje pochodna cząstkowa po czasie; - jednostka urojona, - (ha kreślone) stała Plancka podzielona przez , nazywana niekiedy zredukowaną stałą Plancka lub (zwłaszcza w literaturze anglojęzycznej) stałą Diraca.

Równanie Diraca można przekształcić do analogicznej postaci wprowadzając macierze

.

Wtedy równanie Diraca przyjmie postać

gdzie:

- czteroskładnikowa funkcja falowa Diraca zależna od współrzędnych przestrzennych oraz czasu , - prędkość światła, - operator pędu, - masa cząstki (zwana masą spoczynkową).

Przy czym

jest operatorem Hamiltona dla swobodnego, relatywistycznego fermionu o spinie 1/2, analogicznym do operatora Hamiltona cząstki swobodnej w równaniu Schrödingera:

Gdy cząstka jest swobodna, to funkcja falowa powinna nie zależeć od współrzędnych. Wtedy , co formalnie oznacza, że i równanie Diraca przyjmuje postać[1] s. 217

Rozwiązania tego równania mają postać

Pierwsze odpowiada formalnie cząstce (np. elektronowi) o energii , drugie antycząstce (np. pozytonowi) także o energii [1] s. 217.

Równanie Diraca dla cząstki w polu[edytuj]

Dotychczas omówiono równanie Diraca dla cząstki swobodnej. Tutaj zostanie omówione równanie Diraca dla cząstki nieswobodnej, znajdująca się w polu sił, przy czym pole traktowane będzie jako pole klasyczne, tj. nie poddane procesowi tzw. drugiego kwantowania. Zakładając, że cząstka jest naładowana, a pole oddziaływań jest polem elektromagnetycznym Maxwella o potencjale skalarnym i potencjale wektorowym , operator Hamiltona w równaniu Diraca przyjmie postać

gdzie:

 oraz  są macierzami gamma,

jest operatorem pędu

kropka oznacza mnożenie skalarne,

- to ładunek cząstki,

- to masa cząstki.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b c D.J. Griffiths: Introduction to Elementary Particles. New York: Wiley-VCH, 1987. ISBN 978-3-527-40601-2.

Bibliografia[edytuj]

  • D.J. Griffiths, Introduction to Elementary Particles. Wiley-VCH, New York 1987. ISBN 978-3-527-40601-2.
  • L.I. Schiff, Quantum Mechanics (3rd ed.), McGraw-Hill 1968.