Metoda Gaussa-Seidla

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda Gaussa-Seidlaiteracyjna metoda numerycznego rozwiązywania układów równań liniowych. Nazwa upamiętnia niemieckich matematyków: Carla Friedricha Gaussa i Philippa Ludwiga von Seidla.

Metoda stosowana jest głównie do rozwiązywania układów o dużej liczbie równań i niewiadomych (nawet rzędu milionów), których macierz główna jest macierzą przekątniowo dominującą. Równania tego typu występują powszechnie podczas rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych, np. równania Laplace’a. Dla małych układów równań dużo szybsze są metody bezpośrednie, np. metoda eliminacji Gaussa, natomiast dla ogromnych układów równań lepszą zbieżność zapewniają metody nadrelaksacyjne oraz wielosiatkowe (ang. multigrid).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Metoda Gaussa-Seidla jest metodą relaksacyjną, w której poszukiwanie rozwiązania rozpoczyna się od dowolnie wybranego rozwiązania próbnego , po czym w kolejnych krokach, zwanych iteracjami, za pomocą prostego algorytmu zmienia się kolejno jego składowe, tak by coraz lepiej odpowiadały rzeczywistemu rozwiązaniu. Metoda Gaussa-Seidla bazuje na metodzie Jacobiego, w której krok iteracyjny zmieniono w ten sposób, by każda modyfikacja rozwiązania próbnego korzystała ze wszystkich aktualnie dostępnych przybliżonych składowych rozwiązania. Pozwala to zaoszczędzić połowę pamięci operacyjnej i w większości zastosowań praktycznych zmniejsza ok. dwukrotnie liczbę obliczeń niezbędnych do osiągnięcia zadanej dokładności rozwiązania.

Rozpatrzmy układ równań liniowych z niewiadomymi:

Pojedynczą iterację metody Gaussa-Seidla można zapisać algebraicznie jako

gdzie jest nieosobliwą macierzą diagonalną, a i są odpowiednio macierzą dolnotrójkątną i górnotrójkątną macierzy (tzn. oraz mają zera na głównej przekątnej oraz ), natomiast indeks oznacza numer porządkowy iteracji.

Po rozpisaniu na składowe wzór ten przyjmuje postać używaną w implementacjach numerycznych:

Uwaga
  • W powyższych wzorach zakłada się, że w razie potrzeby kolejność równań została zmieniona tak, by dominujące (tj. największe co do modułu w danym równaniu) współczynniki równania znajdowały się na głównej przekątnej macierzy .
  • Jeżeli jest macierzą nieosobliwą, to zawsze można tak przestawić jej wiersze i kolumny, by macierz też była nieosobliwa.
  • Metodę Gaussa-Seidla stosuje się niemal wyłącznie do układów z macierzą przekątniowo dominującą, gdyż w wielu praktycznych zastosowaniach (np. przy rozwiązywaniu eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych) jest to łatwy do spełnienia warunek gwarantujący zbieżność metody.
  • Metodę Gaussa-Seidla można stosować także do układów równań liniowych, w których macierz układu nie jest przekątniowo dominująca, ale poza nielicznymi wyjątkami zwykle nie ma gwarancji, że w tym przypadku metoda będzie zbieżna[a].

Warunki zbieżności[edytuj | edytuj kod]

Warunki wystarczające[edytuj | edytuj kod]

Kryterium silnej dominacji w rzędach[edytuj | edytuj kod]

Metoda Gaussa-Seidla jest zbieżna dla każdej macierzy spełniającej warunek ścisłej dominacji przekątniowej w rzędach:[1]

Kryterium silnej dominacji w kolumnach[edytuj | edytuj kod]

Metoda Gaussa-Seidla jest zbieżna dla każdej macierzy spełniającej warunek ścisłej dominacji przekątniowej w kolumnach:[1]

Kryterium słabej dominacji w rzędach[edytuj | edytuj kod]

Kolejne kryterium dotyczy nieredukowalnych układów równań liniowych[b]. Jeżeli wszystkie wyrazy diagonalne macierzy nieredukowalnej[c][d] dominują rzędami w sensie słabym

oraz jeżeli dla co najmniej jednego wiersza zachodzi dominacja silna:

to ciąg iteracji Gaussa-Seidla jest zbieżny[1][2].

Kryterium słabej dominacji w kolumnach[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli wszystkie wyrazy diagonalne macierzy nieredukowalnej[c] dominują kolumnami w sensie słabym

oraz jeżeli dla co najmniej jednej kolumny zachodzi dominacja silna:

to ciąg iteracji Gaussa-Seidla jest zbieżny[1].

Kryterium dodatniej określoności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli macierz jest dodatnio określona, to metoda Gaussa-Seidla jest zbieżna dla dowolnego wektora początkowego[3][1].

Warunek konieczny[edytuj | edytuj kod]

Niech

Metoda Gaussa-Seidla jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy moduły wszystkich wartości własnych są mniejsze od 1[3].

Uwaga: powyższe kryterium jest niepraktyczne i nie jest wykorzystywane w obliczeniach numerycznych.

Warunek zakończenia iteracji[edytuj | edytuj kod]

W praktyce iteracje Gaussa-Seidla kończy się wtedy, gdy dla iteracji o numerze maksymalna względna zmiana składowej przybliżonego rozwiązania nie przekracza pewnego z góry zadanego małego parametru (np. ):

Alternatywny sposób polega na śledzeniu wektora reszt:

Obliczenia przerywa się, gdy osiągnie wartość mniejszą od pewnego z góry ustalonego małego parametru .

Uwagi:

  • W metodzie Gaussa-Seidla w każdym kroku modyfikuje się pewną składową rozwiązania (), tak by wyzerować odpowiadającą mu składową wektora reszt ().
  • Sukcesywne zerowanie jednej lub kilku składowych wektora reszt stanowi istotę wszystkich metod relaksacyjnych.
  • Aktualizacja wektora reszt w kolejnych krokach może być przeprowadzona stosunkowo niewielkim nakładem obliczeń.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Układ trzech równań liniowych[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy następujący układ równań liniowych:

W pierwszym i drugim równaniu wyrazy dominujące ( i ) leżą poza główną przekątną. Po zamianie kolejności tych równań otrzymujemy układ, w którym wartości dominujące leżą na głównej przekątnej:

Układ ten spełnia warunek zbieżności metody (macierz układu jest dominująca przekątniowo). Układ zapisujemy w postaci równań na wyrazy dominujące:

Dokonujemy wyboru ("zgadujemy") wartości i , np. i . Następnie podstawiamy te wartości do równania na , uzyskując początkową wartość . Tak uzyskaną wartość podstawiamy do równania na , uzyskując nowe przybliżenie tej niewiadomej. Iteracje kontynuujemy do osiągnięcia określonej dokładności względnej.

Dla i powyższa procedura daje następujące wyniki (dwie pełne iteracje):

Dokładne rozwiązanie: , , .

Jak łatwo sprawdzić, gdyby na początku nie zmieniono kolejności równań, iteracje Gaussa-Seidla byłyby rozbieżne.

Jednowymiarowe równanie Laplace’a[edytuj | edytuj kod]

Jednowymiarowe równanie Laplace’a ma postać , gdzie jest macierzą trójprzekątniową:

Macierz , jako pełna macierz trójprzekątniowa, jest nieredukowalna[c]. Wszystkie elementy dominujące znajdują się na głównej przekątnej. Wartość bezwzględna każdego elementu dominującego jest co najmniej równa sumie wartości bezwzględnych pozostałych elementów w danym wierszu. Istnieją dwa elementy dominujące (w pierwszym i ostatnim wierszu, czyli na brzegach układu), których wartość bezwzględna jest większa od sumy wartości bezwzględnych pozostałych elementów wiersza. Dlatego na mocy kryterium dominacji przekątniowej metoda Gaussa-Seidla jest w przypadku tego równania zbieżna.

Ten sam wniosek można wyciągnąć z kryterium dodatniej określoności macierzy , ale wymaga to bardziej zaawansowanych rachunków.

Równanie niezbieżne[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy układ równań , gdzie

Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci , gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą. Macierz nie spełnia żadnego z opisanych powyżej warunków dostatecznych zbieżności metody Gaussa-Seidla. Mimo tego, jak łatwo sprawdzić, metoda Gaussa-Seidla jest w tym przypadku zbieżna dla każdego wektora początkowego ; problem w tym, że wartość graniczna zależy od wyboru rozwiązania próbnego .

Algorytm[edytuj | edytuj kod]

Wybierz początkowe przybliżenie
for k := 1 step 1 until oczekiwane przybliżenie do
for i := 1 step 1 until n do
for j := 1 step 1 until i-1 do
end (j-for)
for j := i+1 step 1 until n do
end (j-for)
end (i-for)
sprawdź, czy osiągnięto oczekiwane przybliżenie
end (k-for)

Przykład w Python 3 i pakiecie NumPy[edytuj | edytuj kod]

import numpy as np

ITERATION_LIMIT = 1000

# initialize the matrix
A = np.array([[10., -1., 2., 0.],
       [-1., 11., -1., 3.],
       [2., -1., 10., -1.],
       [0.0, 3., -1., 8.]])
# initialize the RHS vector
b = np.array([6., 25., -11., 15.])

# prints the system
print("System:")
for i in range(A.shape[0]):
  row = ["{}*x{}".format(A[i, j], j + 1) for j in range(A.shape[1])]
  print(" + ".join(row), "=", b[i])
print()

x = np.zeros_like(b)
for it_count in range(ITERATION_LIMIT):
  print("Current solution:", x)
  x_new = np.zeros_like(x)

  for i in range(A.shape[0]):
    s1 = np.dot(A[i, :i], x_new[:i])
    s2 = np.dot(A[i, i + 1:], x[i + 1:])
    x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i, i]

  if np.allclose(x, x_new, rtol=1e-8):
    break

  x = x_new

print("Solution:")
print(x)
error = np.dot(A, x) - b
print("Error:")
print(error)

Powyższy przykład wyświetla wynik:

System:
10.0*x1 + -1.0*x2 + 2.0*x3 + 0.0*x4 = 6.0
-1.0*x1 + 11.0*x2 + -1.0*x3 + 3.0*x4 = 25.0
2.0*x1 + -1.0*x2 + 10.0*x3 + -1.0*x4 = -11.0
0.0*x1 + 3.0*x2 + -1.0*x3 + 8.0*x4 = 15.0

Current solution: [ 0. 0. 0. 0.]
Current solution: [ 0.6     2.32727273 -0.98727273 0.87886364]
Current solution: [ 1.03018182 2.03693802 -1.0144562  0.98434122]
Current solution: [ 1.00658504 2.00355502 -1.00252738 0.99835095]
Current solution: [ 1.00086098 2.00029825 -1.00030728 0.99984975]
Current solution: [ 1.00009128 2.00002134 -1.00003115 0.9999881 ]
Current solution: [ 1.00000836 2.00000117 -1.00000275 0.99999922]
Current solution: [ 1.00000067 2.00000002 -1.00000021 0.99999996]
Current solution: [ 1.00000004 1.99999999 -1.00000001 1.    ]
Current solution: [ 1. 2. -1. 1.]
Solution:
[ 1. 2. -1. 1.]
Error:
[ 2.06480930e-08 -1.25551054e-08  3.61417563e-11  0.00000000e+00]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Metoda iteracyjna wyrażona równaniem jest zbieżna, gdy ciąg jest zbieżny do dla dowolnego wektora początkowego
  2. Tj. takich układów, których nie można uporządkować przez permutacje wierszy i kolumn w ten sposób, by niektóre niewiadome można było wyznaczyć poprzez rozwiązanie mniejszej liczby równań niż
  3. a b c Macierz jest nieredukowalna, jeżeli poprzez przestawienie wierszy i kolumn nie można jej sprowadzić do postaci blokowej górnej trójkątnej.
  4. Nieredukowalność macierzy kwadratowej stopnia można sprawdzić za pomocą grafu skierowanego mającego węzłów , w którym para jest połączona ścieżką od do wtedy i tylko wtedy, gdy . Macierz jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy między dowolnymi dwoma różnymi węzłami w grafie istnieje połączenie ścieżkami.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e Stoer i Bulirsch, 1993.
  2. Tannehill i in., 1997
  3. a b Ralston, 1983.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • David Kincaid, Ward Cheney Analiza Numeryczna ​ISBN 83-204-3078-X
  • Anthony Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa 1983, ​ISBN 83-01-01626-4​.
  • J. Stoer R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, Springer-Verlag, New York 1993, ​ISBN 0-387-97878-X
  • John C. Tannehill, Dale A. Anderson i Richard H. Pletcher, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer (Second Edition), Francis & Taylor, Philadelphia, 1997, ​ISBN 1-56032-046-X