Otoczka wypukła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Otoczka wypukła, powłoka wypukła a. uwypuklenie podzbioru przestrzeni liniowej – najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wypukły zawierający ten podzbiór. Otoczkę wypukłą podzbioru oznacza się zwykle jako

Przekrój dowolnej ilości zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, więc najmniejszy zbiór wypukły zawierający A możemy zdefiniować jako przekrój wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A. Zapisujemy to za pomocą formuły:

Przykłady[edytuj]

  • Powłoką wypukłą zbioru wypukłego jest ten sam zbiór.
  • Dla dowolnego skończonego zbioru punktów płaszczyzny {P1, P2, ..., Pn}, gdzie powłoka wypukła tego zbioru jest wielokątem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do odcinka) o wierzchołkach należących do zbioru . Analogicznie w przestrzeni 3-wymiarowej powłoka wypukła skończonego zbioru punktów jest wielościanem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do wielokąta lub odcinka).
  • Powłoką wypukłą zbioru trzech punktów niewspółliniowych (takich, które nie leżą na wspólnej prostej) jest trójkąt o wierzchołkach w tych punktach.
  • Otoczką wypukłą zbioru dwupunktowego {A, B} jest odcinek AB.
  • W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej uwypukleniem zbioru punktów jest zbiór punktów o współrzędnych dodatnich, których suma jest równa 1. Zbiór taki nazywamy sympleksem. W przestrzeni 2-wymiarowej jest to odcinek, 3-wymiarowej trójkąt równoboczny, 4-wymiarowej czworościan foremny.

Alternatywne przedstawienie[edytuj]

Otoczkę wypukłą można scharakteryzować jako zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru :

Dowód[edytuj]

Oznaczmy operację tworzenia wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru przez . Udowodnimy, że :. Zauważmy, że (wystarczy wziąć w definicji i ).

Wykażemy teraz, że jest zbiorem wypukłym: niech . Zatem, dla pewnych oraz dodatnich mamy

, oraz .

Niech będą takie, że . Wówczas

i stąd

.

Aby wykazać równość zbiorów postulowaną w udowodnimy dwie inkluzje. Najpierw:

Inkluzja zachodzi ponieważ w szczególności jednym ze zbiorów M zawierających zbiór A jest zatem cześć wspólna wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A musi się zawierać w . Zatem .

Teraz inkluzja w druga stronę:

Przypuśćmy, że M jest zbiorem wypukłym takim, że . Teraz z obu stron inkluzji wykonujemy operację otrzymując:

Ponieważ tak jest dla każdego zbioru M więc także dla części wspólnej wszystkich zbiorów wypukłych M zawierających A zatem:

Stąd , a więc .

Zobacz też[edytuj]