Otoczka wypukła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Otoczka wypukła, powłoka wypukła a. uwypuklenie podzbioru przestrzeni liniowej – najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wypukły zawierający ten podzbiór. Otoczkę wypukłą podzbioru oznacza się zwykle jako

Przekrój dowolnej ilości zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, więc najmniejszy zbiór wypukły zawierający możemy zdefiniować jako przekrój wszystkich zbiorów wypukłych zawierających Zapisujemy to za pomocą formuły:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Powłoką wypukłą zbioru wypukłego jest ten sam zbiór. W szczególności zbiór pusty jest wypukły, zatem jego powłoką wypukłą jest zbiór pusty.
  • Dla dowolnego skończonego zbioru punktów płaszczyzny gdzie powłoka wypukła tego zbioru jest wielokątem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do odcinka) o wierzchołkach należących do zbioru Analogicznie w przestrzeni 3-wymiarowej powłoka wypukła skończonego zbioru punktów jest wielościanem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do wielokąta lub odcinka).
  • Powłoką wypukłą zbioru trzech punktów niewspółliniowych (takich, które nie leżą na wspólnej prostej) jest trójkąt o wierzchołkach w tych punktach.
  • Otoczką wypukłą zbioru dwupunktowego {A, B} jest odcinek AB.
  • W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej uwypukleniem zbioru punktów jest zbiór punktów o współrzędnych dodatnich, których suma jest równa 1. Zbiór taki nazywamy sympleksem. W przestrzeni 2-wymiarowej jest to odcinek, 3-wymiarowej trójkąt równoboczny, 4-wymiarowej czworościan foremny.

Alternatywne przedstawienie[edytuj | edytuj kod]

Otoczkę wypukłą zbioru skończonego (-elementowego) można scharakteryzować jako zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Oznaczmy operację tworzenia wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru przez Udowodnimy, że: Zauważmy, że (wystarczy wziąć w definicji i ).

Wykażemy teraz, że jest zbiorem wypukłym: niech Zatem dla pewnych oraz dodatnich mamy

oraz

Niech będą takie, że Wówczas

i stąd

Aby wykazać równość zbiorów postulowaną w udowodnimy dwie inkluzje. Najpierw:

Inkluzja zachodzi ponieważ w szczególności jednym ze zbiorów M zawierających zbiór A jest zatem cześć wspólna wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A musi się zawierać w Zatem

Teraz inkluzja w drugą stronę:

Przypuśćmy, że M jest zbiorem wypukłym takim, że Teraz z obu stron inkluzji wykonujemy operację otrzymując:

Ponieważ tak jest dla każdego zbioru M więc także dla części wspólnej wszystkich zbiorów wypukłych M zawierających A zatem:

Stąd a więc

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]