Przedział ufności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przedział ufności – podstawowe narzędzie estymacji przedziałowej. Pojęcie to zostało wprowadzone do statystyki przez matematyka polskiego pochodzenia Jerzego Spławę-Neymana.

Definicja[edytuj]

Niech cecha X ma rozkład w populacji z nieznanym parametrem θ. Z populacji wybieramy próbę losową (X1, X2, ..., Xn). Przedziałem ufności o współczynniku ufności 1 − α nazywamy taki przedział 1, θ2), który spełnia warunek:

gdzie θ1 i θ2 są funkcjami wyznaczonymi na podstawie próby losowej.

Podobnie jak w przypadku estymatorów definicja pozwala na dowolność wyboru funkcji z próby, jednak tutaj kryterium wyboru najlepszych funkcji narzuca się automatycznie – zazwyczaj będziemy poszukiwać przedziałów najkrótszych.

Współczynnik ufności 1 − α jest wielkością, którą można interpretować w następujący sposób: jest to prawdopodobieństwo wyznaczenia takiego przedziału, że rzeczywista wartość parametru θ w populacji znajdzie się w tym przedziale. Im większa wartość tego współczynnika, tym szerszy przedział ufności, a więc mniejsza dokładność estymacji parametru. Im mniejsza wartość 1 − α, tym większa dokładność estymacji, ale jednocześnie tym większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Wybór odpowiedniego współczynnika jest więc kompromisem pomiędzy dokładnością estymacji a ryzykiem błędu. W praktyce przyjmuje się zazwyczaj wartości: 0,99; 0,95 lub 0,90, zależnie od parametru.

Przykłady przedziałów ufności[edytuj]

Ponieważ szukamy jak najkrótszych przedziałów ufności, dlatego przy wyznaczaniu przedziału staramy się wykorzystać jak najwięcej dostępnych informacji o rozkładzie cechy w populacji. Jeśli np. cecha ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym σ, to zastosowanie wzoru na przedział ufności dla nieznanego σ również da poprawny wynik, jednak przedział otrzymany tą metodą będzie szerszy, czyli mniej dokładny. Z kolei wzory ogólniejsze, np. dla nieznanego rozkładu, często korzystają z rozkładów granicznych estymatorów i dlatego wymagają dużej liczebności próby.

Przedział ufności dla średniej[edytuj]

Znane odchylenie standardowe[edytuj]

Cecha ma w populacji rozkład normalny N(m, σ), przy czym odchylenie standardowe σ jest znane. Przedział ufności dla parametru m tego rozkładu ma postać:

lub równoznacznie:

gdzie:

  • n to liczebność próby losowej
  • oznacza średnią z próby losowej
  • σ to odchylenie standardowe populacji
  • jest statystyką, spełniającą warunek:
, gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie normalnym .
  • oraz to kwantyle rzędów odpowiednio i rozkładu .

Nieznane odchylenie standardowe[edytuj]

Cecha ma w populacji rozkład normalny N(m, σ), przy czym odchylenie standardowe σ jest nieznane. Przedział ufności dla parametru m tego rozkładu ma postać:

gdzie:

  • n to liczebność próby losowej
  • oznacza średnią z próby losowej
  • S to odchylenie standardowe z próby

Zwykle stosuje się ten wzór dla małej próby (n < 30). Tak naprawdę działa on dla każdej wielkości próby, jednak dla dużych prób można przybliżyć rozkład t Studenta rozkładem normalnym, co jest łatwiejsze do wyliczenia a dające niemal takie same wartości (patrz niżej).

Nieznane odchylenie standardowe – duża próba (n > 30)[edytuj]

Cecha ma w populacji rozkład normalny N(m, σ), przy czym odchylenie standardowe σ jest nieznane, a próba jest duża (n>30). Granica 30 jest czysto umowna, im n jest większe, tym wzór dokładniejszy. Przedział ufności dla parametru m tego rozkładu ma postać:

gdzie:

  • n to liczebność próby losowej dzielona przez x
  • oznacza średnią z próby losowej
  • S to odchylenie standardowe z próby
  • jest statystyką ze zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0, 1).

Przedział ufności dla wariancji[edytuj]

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ)

gdzie:

  • n to liczebność próby losowej
  • S to odchylenie standardowe z próby
  • i to statystyki spełniające odpowiednio nierówności:


gdzie ma rozkład chi-kwadrat z n − 1 stopniami swobody

Podobnie jak poprzednio, zwykle stosuje się ten wzór dla małej próby (n < 30), choć również działa on dla każdej wielkości próby.

Duża próba (n > 30)[edytuj]

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ) dla dużej próby, czyli umownie dla n > 30.

gdzie:

  • n to liczebność próby losowej
  • S to odchylenie standardowe z próby
  • jest statystyką spełniającą warunek:

gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0, 1).

Przedział ufności dla odsetka (wskaźnik struktury)[edytuj]

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla odsetka w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ)

gdzie:

  • n to liczebność próby losowej
  • m to liczebność wybranej grupy z próby
  • jest statystyką, spełniającą warunek:
gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0, 1).

Przedział ufności dla współczynnika korelacji[edytuj]

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla współczynnika korelacji w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ). Tak jak poprzednio, działa on dla dowolnej próby, choć jest zwykle stosowany tylko dla prób małych (n < 30).

gdzie:

  • n to liczebność próby losowej
  • jest statystyką, spełniającą warunek:
gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0, 1).
  • r to współczynnik korelacji

Duża próba (n > 30)[edytuj]

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla współczynnika korelacji w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ)

gdzie:

  • n to liczebność próby losowej
  • jest statystyką spełniającą warunek:
gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0, 1).
  • r to współczynnik korelacji

Przedział ufności dla współczynnika α1[edytuj]

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla współczynnika α1 w populacji o rozkładzie normalnym N(m, σ)

gdzie:

  • X to wartość z próby losowej
  • oznacza średnią z próby losowej
  • ma rozkład Studenta z n − 2 stopniami swobody

Minimalna liczebność próby[edytuj]

Jeśli chcemy oszacować parametr z określoną dokładnością d, możemy – po odpowiednich przekształceniach wzorów na przedziały ufności – wyznaczyć liczebność próby losowej potrzebną do osiągnięcia zakładanej dokładności.

Przykład: Wiemy, że wzrost wikipedystów ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 25,28 cm (dane chyba nieprawdziwe). Obliczmy, ilu wikipedystów wystarczy zmierzyć, aby z prawdopodobieństwem 95% wyznaczyć średni wzrost wikipedysty z dokładnością do 5 cm.

Jeśli chcemy uzyskać dokładność 5 cm, należy zadbać o to, aby połowa długości przedziału ufności była mniejsza lub równa niż 5 cm. Ze wzoru na przedział ufności dla rozkładu normalnego o znanym odchyleniu standardowym wynika, że dokładność estymacji powinna spełniać zależność:

Przekształcamy podaną nierówność uzyskując pożądany wzór na liczebność próby:

Podstawiając do wzoru wartości σ = 25,28; d = 5 cm; uα = 1,96 (wartość obliczona na podstawie tablic rozkładu normalnego), uzyskujemy minimalną wielkość próby na poziomie 99 wikipedystów.